Через большую трубу бассейн наполняется за 5 ч, а через маленькую за 10 ч. Большая труба проработала 3 ч, а маленькая - 1 ч. Какая часть бассейна наполнена? Какую часть бассейна еще осталось наполнить?

Положим что данное выражение равно s(n) , и преобразуем s(n)=2^(2^n)+2^(2^(n-1))+1=(2^(2^(n-1))+1)^2-2^(2^(n-1)) 1) Используя формулу разности квадратов , разложим на множители число s , для определенного n имеем s(n)=(2^(2^(n-1))-2^(2^(n-2))+1)*(2^(2^(n-2))-2^(2^(n-3))+1)*(2^(2^(n-3))-2^(2^(n-4))+1)*...*7 (7-это число s при n=1) 2) докажем что каждые два множителя s (вышеописанные множители) взаимно просты. 3)Для начала возьмём какие-нибудь два числа вида 2^(2^n)+1 и 2^(2^k)+1 , тогда докажем что НОД этих чисел будет равен 1. Без потери общности , положим n>k>0 , то все по той же разности квадратов получим 2^(2^n)+1=(2^(2^(n-1))+1)*(2^(2^(n-2))+1)*(2^(2^(n-3))+1)*...(2^(2^k)+1)*...*5 + 2 То есть это говорит о том что, число 2^(2^(n))+1 при деланий на 2^(2^(k))+1 даёт остаток равный 2 и НОД(2^(2^(k))+1 , 2)=1 так как числа рассматриваемого вида , всегда нечётна . То есть числа взаимно простые. 4)Теперь докажем пункт номер 2. Рассмотрим числа вида X=2^(2^k)-2^(2^(k-1))+1 и Y=2^(2^m)-2^(2^(m-1))+1 Используя формулу (a^2-a+1)(a+1)=a^3+1, заменим (2^(2^(k-1))+1)=u и (2^(2^(m-1))+1)=v получим что X*(2^(2^(k-1))+1)=X*u=2^(3*2^(k-1))+1=A , аналогично Y*(2^(2^(m-1))+1)=Y*v=2^(3*2^(m-1))+1=B Для чисел A и B рассуждая абсолютно аналогично как и в пункте 3 , следует что нод (A,B)=1 то есть они взаимно просты. Стало быть если НОД(X*u,Y*v)=1 и НОД(u,v)=1 значит и НОД(X,Y)=1 тем самым пункт 2 доказан. 5) Если записать упрощенна s(n)=a1*a2*a3*a4***a(n-1)*..*7 из пункта 2 следует (то что любые два числа взаимно просты) , это значит что у s(n) не существует простых делителей вида p^a где p-простое число , "a" целое положительное. В свою очередь это значит что если числа a1,a2,a3 итд являются сами простыми , то у него будет ровно n делителей , если хотя бы какое одно число не простое , то при разложений его , на простые множители , учитывая пункт 2, очевидно что будет больше чем n делителей.

Решение:
а)
Общее число частей в отношении 7:3     
7+3=10 (ч)
На одну часть приходится:
4800:10=480
-первое число    480*7=3360
-второе число    480*3=1440
б)
Числа можно соотнести:
1:4
Общее число частей:
1+4=5(ч)
На одну часть приходится:
4800:5=960
-первое число   960*1=960
-второе число   960*4=3840
в)
Общее число частей в соотношении 2/3 : 16
2/3+16=16 2/3=50/3 (ч)
На одну часть приходится
4800 : 50/3=4800*3/50=288
-первое число  288*2/3=192
- второе число  288*16=4608
г)
Числа находятся в отношении, обратном отношению чисел 3 и 2-это 2:3
Общее число частей:
2+3=5(ч)
На одну часть приходится:
4800:5=960
-первое число  960*2=1920
- второе число  960*3=2880
д)
Соотношение чисел 1/5:1
Общее число частей:
1/5+1=1 1/5(ч)
На одну часть приходится:
4800 : 1 1/5=4800:6/5=4800*5/6=2400/6=4000
-первое число   4000*1/5=800
- второе число   4000*1=4000