Дано координати 4 вершин піраміди ABCD. А(2;2;0);В(4;3;2);С(1;4;1);D(4;1;2;)Знайти: 1) довжину ребра AB 2) кут між ребрами AB і AC
3) площу трикутника ABC
4) об’єм піраміди ABCD
5) рівняння площини, що проходить через точки А, С і D
6) довжину висоти ВВ1 піраміди.
Дано координати 4 вершин піраміди ABCD:
А(2;2;0); В(4;3;2); С(1;4;1); D(4;1;2).
Знайти: 1) довжину ребра AB.
|AB| = √((4-2)² + (3-2)² + (2-0)²) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3.
2) кут між ребрами AB і AC .
Вектор АВ из п.1 (2; 1; 2). его модуль равен 3.
Находим вектор АС = ((1-2; (4-2); (1-0)) = (-1; 2; 1).
Модуль АС равен √(1+4+1) = √6.
cos A = (2*(-1)+1*2+2*1)/(3 *√6) = 2/(3√6) = √6/9.
Угол равен 1,29515 радиан или 74,20683 градуса.
3) площу трикутника ABC . S(ABC) = (1/2)*|ABxAC|.
i j k| i j
2 1 2| 2 1
-1 2 1| -1 2 = 1i - 2j + 4k - 2j - 4i + 1k =
= -3i - 4j + 5k.
S = (1/2)*√(((-3)² + (-4)² + 5²) = (1/2)*(√50) = 5√2/2 ≈ 3,5355 кв.ед.
4) об’єм піраміди ABCD .
Находим вектор AD = (2; -1; 2). V = (1/6)*|ABxAC|*AD.
|ABxAC| = (-3; -4; 5) определено в п. 3.
V = (1/6)*(2*(-3)+(-1)*(-4)+2*5) = (1/6)*8 = (4/3) куб.ед.
5) рівняння площини, що проходить через точки А, С і D .
Точки А(2;2;0); С(1;4;1); D(4;1;2).
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xС - xA yС - yA zС - zA
xD - xA yD - yA zD - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 2 y - 2 z - 0
1 - 2 4 - 2 1 - 0
4 - 2 1 - 2 2 - 0 = 0
x - 2 y - 2 z - 0
-1 2 1
2 -1 2 = 0.
(x - 2) (2·2-1·(-1)) - (y - 2) ((-1)·2-1·2) + (z - 0) ((-1)·(-1)-2·2) = 0 .
5 (x - 2) + 4 (y - 2) + (-3) (z - 0) = 0 .
5x + 4y - 3z - 18 = 0 .
6) довжину висоти ВВ1 піраміди. BB1 = 3V/S(ACD).
S(ACD) = (1/2)*|ACxAD|.
Вектор АС = (-1; 2; 1), вектор AD = (2; -1; 2).
i j k| i j
-1 2 1| -1 2
2 -1 2| 2 -1 = 4i + 2j + 1k + 2j + 1i - 4k =
= 5i + 4j - 3k.
S = (1/2)*√(5² + 4² + (-3)²) = (1/2)*(√50) = 5√2/2 ≈ 3,5355 кв.ед.
H= BB1 = 3*(4/3)/(5√2/2) = 4√2/5 ≈ 1,13137.