Даны числа от 201 до 228. Их разбивают на 4 набора по 7 чисел, в каждом наборе считают среднее aрифметическое. Среди четырёх средних арифметических выбирают наибольшее. Какое наибольшее значение оно может принимать? Господи ответьте
Для каждой точки координатной прямой существуют точки расположенные слева (в отрицательном направлении) и справа (в положительном направлении). Поэтому, на координатной прямой от заданного числа m на расстоянии d единицы располагаются ровно 2 точки. Значения этих точек равны, m–d и m+d, соответственно, в отрицательном и положительном направлениях (см. рисунок):
Покажем, что в результате не мог получиться 0. Для этого докажем, что в результате на доске останется нечетное число.
Заметим, что четность количества нечетных чисел, которые записаны на доске, не изменяется. Действительно, если мы заменяем четное и нечетное числа, то в результате будет на доске записано нечетное число (т.к. разность четного и нечетного числа — нечетна). Т.е. количество нечетных чисел не изменяется. Если же заменяем числа одной четности, то в результате на доске будет записано четное число (т.к. разность четного и четного — четно, а также разность нечетного и нечетного — четно). Т.е. количество нечетных чисел либо не изменится, либо уменьшится на 2.
Изначально число нечетных чисел равно 2013+12=1007, т.е. нечетно, а значит и в конце оно будет нечетно.
Стратегия. Докажем, что мы можем получить число 1. Для этого покажем, что если мы возьмем четыре последовательных числа (a, a+1, a+2, a+3), то мы можем из них сделать 0.
Первая операция: |(a+1)−a|=1. Вторая операция: |(a+3)−(a+2)|=1. Третья операция: 1−1=0.
Теперь мы разобьем числа на четверки и сделаем из каждой четверки 0 (1 мы отложим): {2,3,4,5}, …, {2010,2011,2012,2013}. После этого из полученных 0 с нашей операции мы получим один 0.
После этого найдем модуль разности 1 и 0 и получим 1.
Для каждой точки координатной прямой существуют точки расположенные слева (в отрицательном направлении) и справа (в положительном направлении). Поэтому, на координатной прямой от заданного числа m на расстоянии d единицы располагаются ровно 2 точки. Значения этих точек равны, m–d и m+d, соответственно, в отрицательном и положительном направлениях (см. рисунок):
от числа 5 на 2 единицы: 5–2=3 и 5+2=7;
от числа –6 на 6 единицы: –6–6= –12 и –6+6=0;
от числа –5 на 3 единицы: –5–3= –8 и –5+3= –2;
от числа –4 на 5 единицы: –4–5= –9 и –4+5=1;
от числа 3 на 4 единицы: 3–4= –1 и 3+4=7;
от числа –1 на 4 единицы: –1–4= –5 и –1+4=3.
ответ: 1.
Покажем, что в результате не мог получиться 0. Для этого докажем, что в результате на доске останется нечетное число.
Заметим, что четность количества нечетных чисел, которые записаны на доске, не изменяется. Действительно, если мы заменяем четное и нечетное числа, то в результате будет на доске записано нечетное число (т.к. разность четного и нечетного числа — нечетна). Т.е. количество нечетных чисел не изменяется. Если же заменяем числа одной четности, то в результате на доске будет записано четное число (т.к. разность четного и четного — четно, а также разность нечетного и нечетного — четно). Т.е. количество нечетных чисел либо не изменится, либо уменьшится на 2.
Изначально число нечетных чисел равно 2013+12=1007, т.е. нечетно, а значит и в конце оно будет нечетно.
Стратегия. Докажем, что мы можем получить число 1. Для этого покажем, что если мы возьмем четыре последовательных числа (a, a+1, a+2, a+3), то мы можем из них сделать 0.
Первая операция: |(a+1)−a|=1. Вторая операция: |(a+3)−(a+2)|=1. Третья операция: 1−1=0.
Теперь мы разобьем числа на четверки и сделаем из каждой четверки 0 (1 мы отложим): {2,3,4,5}, …, {2010,2011,2012,2013}. После этого из полученных 0 с нашей операции мы получим один 0.
После этого найдем модуль разности 1 и 0 и получим 1.