Даринка хоче накреслити фігуру, що має площу на дві одиниці більшу, ніж площа фігури С. Ростик пла- нує накреслити фігуру, що має площу на п'ять одиниць меншу, ніж площа фігури С.
Пусть первая команда набрала x очков. Тогда вторая команда набрала либо на 3 очка больше, либо на 3 очка меньше. Т.е. эти две команды имеют одинаковые остатки от деления на 3 своих очков. Рассуждая аналогично, выясняем, что все команды должны набрать очки, имеющие один и тот же остаток при делении на 3. Обозначим его d. Тогда для любой команды количество ее очков будет выражаться следующим образом: 3k+d, где k - некоторое неотрицательное целое число. Сложив очки всех команд заметим, что сумма может быть представлена как 3s+6d, где s - это некоторое неотрицательное целое число. А это означает, что сумма очков команд должна делиться на 3. Однако, 68 на 3 не делится. Полученное противоречие показывает, что требуемая таблица невозможна.
Зачем было собирать в одном вопросе несколько, к тому же уже отвеченных? Задача 2. Календарь. Я составил эти календари, в Excel это несложно, и сравнил. Получилось 51: 1,2,3 января, 9-14 февраля, 22-27 марта, 3-8 мая, 14-19 июня, 26-31 июля, 6-11 сентября, 18-23 октября, 29 и 30 ноября, 1-4 декабря. Но как это решить расчетами - я не знаю.
Задача 3. Правдивцы и лжецы. Те, кто говорит правду, ответили ДА на 1 вопрос и НЕТ на 3 вопроса. Те, кто врет, ответили ДА на 3 вопроса и НЕТ на 1 вопрос. В классе x человек говорит правду и 32-x врут. Было x ответов ДА от правдивцев и 3*(32-x) ДА от лжецов. x + 3(32 - x) = 12 + 5 + 11 + 8 = 36 x + 96 - 3x = 36 60 = 2x x = 30 - говорят правду 32 - х = 2 - врут.
Задача 4. Торт в форме цилиндра - это обычный круглый торт. Маша может каждый разрез провести так, что он пересечет другие ее же разрезы, а может так, что пересечет только часть, или вообще ни одного. У Пети все разрезы параллельны друг другу и не пересекаются. 1) На 10 частей торт разрезать невозможно. Если первой режет Маша, то она делает 2 куска. Петя режет вдоль и получает 4 куска. Если теперь Маша разрежет так, что ее разрез не пересечет ее первого разреза, то она добавит 2 куска, и получится 6 кусков. Петя добавит 3 куска и получит 9. Если же Маша вторым разрезом пересечет свой первый разрез, то получится 8 кусков. Тогда Петя вторым разрезом добавит 4 и получит 12 кусков. Если первым режет Петя, то он делит торт на 2 части, а Маша - на 4. Вторым разрезом Петя добавляет 2 куска и получает 6. Вторым разрезом Маша получит 9 кусков, даже если не будет пересекать свой первый разрез. А если пересечет, то все 12 кусков.
2) ответ на этот вопрос я уже написал. Маша резала первой на 2 куска, Петя вторым, а потом Маша пересекла свой разрез и получила 8 кусков.
Тогда вторая команда набрала либо на 3 очка больше, либо на 3 очка меньше. Т.е. эти две команды имеют одинаковые остатки от деления на 3 своих очков.
Рассуждая аналогично, выясняем, что все команды должны набрать очки, имеющие один и тот же остаток при делении на 3.
Обозначим его d.
Тогда для любой команды количество ее очков будет выражаться следующим образом: 3k+d, где k - некоторое неотрицательное целое число.
Сложив очки всех команд заметим, что сумма может быть представлена как 3s+6d, где s - это некоторое неотрицательное целое число.
А это означает, что сумма очков команд должна делиться на 3.
Однако, 68 на 3 не делится.
Полученное противоречие показывает, что требуемая таблица невозможна.
Задача 2. Календарь.
Я составил эти календари, в Excel это несложно, и сравнил. Получилось 51:
1,2,3 января, 9-14 февраля, 22-27 марта, 3-8 мая, 14-19 июня, 26-31 июля,
6-11 сентября, 18-23 октября, 29 и 30 ноября, 1-4 декабря.
Но как это решить расчетами - я не знаю.
Задача 3. Правдивцы и лжецы.
Те, кто говорит правду, ответили ДА на 1 вопрос и НЕТ на 3 вопроса.
Те, кто врет, ответили ДА на 3 вопроса и НЕТ на 1 вопрос.
В классе x человек говорит правду и 32-x врут.
Было x ответов ДА от правдивцев и 3*(32-x) ДА от лжецов.
x + 3(32 - x) = 12 + 5 + 11 + 8 = 36
x + 96 - 3x = 36
60 = 2x
x = 30 - говорят правду
32 - х = 2 - врут.
Задача 4. Торт в форме цилиндра - это обычный круглый торт.
Маша может каждый разрез провести так, что он пересечет другие ее же разрезы, а может так, что пересечет только часть, или вообще ни одного.
У Пети все разрезы параллельны друг другу и не пересекаются.
1) На 10 частей торт разрезать невозможно. Если первой режет Маша, то она делает 2 куска. Петя режет вдоль и получает 4 куска. Если теперь Маша разрежет так, что ее разрез не пересечет ее первого разреза, то она добавит 2 куска, и получится 6 кусков. Петя добавит 3 куска и получит 9.
Если же Маша вторым разрезом пересечет свой первый разрез, то получится 8 кусков. Тогда Петя вторым разрезом добавит 4 и получит 12 кусков.
Если первым режет Петя, то он делит торт на 2 части, а Маша - на 4.
Вторым разрезом Петя добавляет 2 куска и получает 6.
Вторым разрезом Маша получит 9 кусков, даже если не будет пересекать свой первый разрез. А если пересечет, то все 12 кусков.
2) ответ на этот вопрос я уже написал. Маша резала первой на 2 куска, Петя вторым, а потом Маша пересекла свой разрез и получила 8 кусков.