Доказать, что множество всех геометрических векторов, удовлетворяющих условию [a,x]=0, где а=(-1,3,-4), является линейным подпространством в пространстве V3. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

cosx=0      или       
x= ,  n∈Z  или  cosx=1,   x=2πm, m∈Z  или   cosx= - 1/2. x=,  t∈Z  или  x= - ,  k∈z
отбор корней можно производить по тригонометрической окружности (быстрее)  или с неравенства (формально - нагляднее)
    - 2π≤ ≤ - π поделим  все части неравенства на π,  получим,
   - 2≤1/2+n≤ - 1,   прибавим ко всем частям неравенства  - 1/2.
-2,5≤n≤- 1.5,  т.к. n∈Z,  то  n= - 2,  подставляем полученное значение n=-2,  x=
Аналогично находим m= - 1,  х= - 2π
t= - 1,  x= -
для  k   таких значений не существует.
ответ:  - 2π,  , 

По условию точка Д принадлежит окружности, АС ее диаметр, следовательно АДС как вписанный угол равен 90 гр., поскольку опирается на диаметр (по свойству вписанного угла). Т.о. получаем два прямоугольных треугольника АСД и ВСД. АД и ДБ катеты этих треугольников и равны соответственно 9 и 4, другой катет у них общий (СД).
Обозначим катеты треугольника АВС как: АС=b, ВС=а, а гипотенуза равна по условию АВ=АД+ДВ=13.
Составим систему уравнений, опираясь на теорему Пифагора:
b^2+a^2=169
b^2-81=a^2-16 (Это равенство получается из того, что левая и правые части равны CД^2)
 b^2=117 
Найдем СД.
СД^2=b^2-81=117-81=36  =>  СД=6