Двум классам поручено убрать школьный двор от листьев, длина двора 32 м, а ширина 20 м. В одном классе 25 учеников, а в другом 21. Сколько метров квадратных придется убрать каждому классу, если распределить работу поровну по числу учеников?
Рассмотрим каждое такое число. Сумма его цифр равна 1+2+3+4+5+6+7=28 28 дает остаток 1 при делении на 9, значит, всё число будет давать остаток 1 при делении на 9. Теперь поймем, сколько у нас таких чисел. На первое место можно поставить одну из 7 цифр на второе - 6, третье - 5 и т.д. Всего Значит, всего чисел 5040. 5040 делится на 9, значит, количество чисел делится на 9. Тогда, мы можем разбить все числа на группы из 9 чисел (не имеет значения, как). В каждой группе каждое число дает остаток 1, в группе чисел 9. Тогда сумма чисел в группе будет давать остаток 9, т.е. будет делиться на 9. Тогда, каждая группа будет делиться 9, значит, будет делиться и их сумма. Что и требовалось доказать.
28 дает остаток 1 при делении на 9, значит, всё число будет давать остаток 1 при делении на 9.
Теперь поймем, сколько у нас таких чисел.
На первое место можно поставить одну из 7 цифр на второе - 6, третье - 5 и т.д.
Всего
Значит, всего чисел 5040. 5040 делится на 9, значит, количество чисел делится на 9. Тогда, мы можем разбить все числа на группы из 9 чисел (не имеет значения, как). В каждой группе каждое число дает остаток 1, в группе чисел 9. Тогда сумма чисел в группе будет давать остаток 9, т.е. будет делиться на 9. Тогда, каждая группа будет делиться 9, значит, будет делиться и их сумма. Что и требовалось доказать.
1) Здесь нужны сочетания с учетом порядка, то есть размещения.
Потому что тройка (Иванов староста, Петров казначей, Смирнов профорг) и тройка (Иванов профорг, Петров староста, Смирнов казначей) - разные.
2) Вынимаем 1 шар из 35. Вероятность, что он черный, p1 = 15/35 = 3/7.
Пусть 1 шар был черный. Тогда, чтобы он остался один, надо вынуть 2 белых. Вероятность этого p2 = 20/34*19/33 = 190/561.
Общая вероятность P(1) = p1*p2 = 3/7*190/561 = 570/3927 = 190/1309.
Пусть 1 шар был белый, вероятность этого q1 = 4/7. Вынимаем 2 шар из 34.
Вероятность, что он будет черным, p3 = 15/34, а белым q3 = 19/34.
Пусть 1 шар белый, а 2 черный. Вероятность этого p4 = 4/7*15/34 = 30/119.
Тогда вероятность, что 3 шар из 33 будет белым, равна p5 = 19/33.
Общая вероятность P(2) = p4*p5 = 30/119*19/33 = 190/1309.
Пусть 1 и 2 шары белые. Вероятность этого p6 = 4/7*19/34 = 38/119.
Тогда вероятность вынуть 3 из 33 черный p7 = 15/33 = 5/11.
Общая вероятность P(3) = p6*p7 = 38/119*5/11 = 190/1309.
Итоговая вероятность
P = P(1) + P(2) + P(3) = 190/1309 + 190/1309 + 190/1309 = 570/1309.
Это если нужен ТОЛЬКО 1 черный шар. Если же нужен ХОТЯ БЫ 1 черный, то всё намного проще.
Вероятность вынуть 3 белых шара
Q = 20/35*19/34*18/33 = 2/7*19/17*6/11 = 228/1309
Вероятность вынуть ХОТЯ БЫ один черный шар
P = 1 - Q = 1 - 228/1309 = 1081/1309
3) Из 10 билетов 2 выигрышных и 8 невыигрышных.
Вероятность, что мы вынем 5 невыигрышных билетов
Q = 8/10*7/9*6/8*5/7*4/6 = 2/9.
Вероятность, что хотя бы 1 билет окажется выигрышным
P = 1 - Q = 1 - 2/9 = 7/9