Формула Брайеса.
Техническое устройство выйдет из строя, если откажут не менее двух из трёх независимо работающих элементов. Вероятности отказов 1-го, 2-го, 3-го элементов соответственно равны 0,2; 0,4; 0,3. Известно, что устройство отказало. Найти вероятность того, что отказали 1-й и 2-й элементы
Для решения этой задачи мы можем использовать формулу Брайеса. Формула Брайеса позволяет нам найти вероятность одного события, при условии, что произошло другое событие.
В данной задаче мы знаем, что устройство вышло из строя, то есть произошло событие отказа. Нам нужно найти вероятность того, что отказали 1-й и 2-й элементы. Обозначим это событие как А.
Также нам даны вероятности отказов каждого элемента, обозначим их как P(A1), P(A2) и P(A3) соответственно.
Итак, мы хотим найти P(A1 и A2 | A), то есть вероятность отказа 1-го и 2-го элементов при условии, что устройство вышло из строя.
Используя формулу Брайеса, мы можем записать:
P(A1 и A2 | A) = (P(A1 и A2) * P(A)) / P(A)
P(A) - это вероятность отказа устройства, которую мы можем найти, используя закон полной вероятности:
P(A) = P(A1 и A2 и A3) + P(A1 и A2 и не A3) + P(A1 и не A2 и A3) + P(не A1 и A2 и A3)
Теперь давайте посчитаем каждый из этих вариантов.
1. P(A1 и A2 и A3) - это вероятность того, что откажут все три элемента. Поскольку элементы независимы, мы можем просто перемножить вероятности:
P(A1 и A2 и A3) = P(A1) * P(A2) * P(A3) = 0,2 * 0,4 * 0,3 = 0,024
2. P(A1 и A2 и не A3) - это вероятность того, что откажут 1-й и 2-й элементы, но не 3-й. Мы знаем, что устройство отказало, поэтому 3-й элемент работает. Мы можем вычислить это, используя вероятность не A3, равную 1 - P(A3):
P(A1 и A2 и не A3) = P(A1) * P(A2) * P(не A3) = 0,2 * 0,4 * (1 - 0,3) = 0,2 * 0,4 * 0,7 = 0,056
3. P(A1 и не A2 и A3) - это вероятность того, что откажут 1-й и 3-й элементы, но не 2-й:
P(A1 и не A2 и A3) = P(A1) * P(не A2) * P(A3) = 0,2 * (1 - 0,4) * 0,3 = 0,2 * 0,6 * 0,3 = 0,036
4. P(не A1 и A2 и A3) - это вероятность того, что откажут 2-й и 3-й элементы, но не 1-й:
P(не A1 и A2 и A3) = P(не A1) * P(A2) * P(A3) = (1 - 0,2) * 0,4 * 0,3 = 0,8 * 0,4 * 0,3 = 0,096
Теперь мы можем найти P(A) с помощью формулы полной вероятности:
P(A) = P(A1 и A2 и A3) + P(A1 и A2 и не A3) + P(A1 и не A2 и A3) + P(не A1 и A2 и A3) = 0,024 + 0,056 + 0,036 + 0,096 = 0,212
Теперь мы можем подставить найденные значения в формулу Брайеса:
P(A1 и A2 | A) = (P(A1 и A2) * P(A)) / P(A) = (0,024 * 0,212) / 0,212 = 0,024
Таким образом, вероятность того, что отказали 1-й и 2-й элементы при условии, что устройство вышло из строя, равна 0,024 или 2,4%.