Исследование функции y=x*arctgx необходимо начать с определения ее области определения. В данном случае функция определена для всех значений x, за исключением x=0. Выберем произвольную точку x0=0 и найдем предел функции y при x, стремящемся к x0=0:
lim (x→x0) (x*arctgx)
= lim (x→0) (x * 0)
= 0
Значит, функция непрерывна на всей прямой, за исключением точки x=0.
Далее, найдем производную функции y=x*arctgx. Для этого воспользуемся формулой производной произведения двух функций:
(y)' = (u'v + uv')/v^2,
где u=x и v=arctgx.
(u)' = 1, так как производная x равна 1,
(v)' = 1/(1+x^2), так как производная arctgx равна 1/(1+x^2).
Подставим значения в формулу производной:
(y)' = (1*arctgx + x*(1/(1+x^2)))/(arctgx)^2.
Упростим полученное выражение:
(y)' = (arctgx + x/(1+x^2))/(arctgx)^2.
Чтобы найти точки экстремумов и монотонность функции, приравняем производную к нулю:
arctgx + x/(1+x^2) = 0.
Допустим, что это уравнение не имеет решений в области определения функции. Тогда, оно имеет решение на границе области определения, то есть при x=0. Проверим это, вычислив значение производной в этой точке:
Полученное значение равно 0, что говорит о том, что функция не имеет экстремумов в области определения.
Далее, изучим поведение функции на интервалах, ограниченных точками разрывов. Функция x*arctgx является четной, что можно заметить из графика. Таким образом, достаточно изучить поведение функции на положительной полуоси.
На интервале (0,+∞) функция является положительной, так как x>0 и arctgx>0 на этом интервале. Кроме того, функция убывает при увеличении x, так как ее производная на данном интервале меньше 0:
(y)'(x) = (arctgx + x/(1+x^2))/(arctgx)^2.
Подставим произвольное значение x1>0:
(y)'(x1) = (arctgx1 + x1/(1+x1^2))/(arctgx1)^2.
Очевидно, что числитель положителен, а знаменатель положителен, так как arctgx1>0. Значит, производная (y)'(x) меньше 0 на интервале (0,+∞), и функция x*arctgx является убывающей на данном интервале.
Теперь, проанализируем поведение функции на интервале (-∞,0). Поскольку функция x*arctgx является четной, то ее график симметричен относительно оси y. Таким образом, изучив поведение функции на положительной полуоси, мы можем сделать выводы о ее поведении на отрицательной полуоси.
Исследуем теперь функцию на вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты могут возникнуть, когда значение arctgx стремится к ±π/2. Определим пределы функции при х, стремящемся к ±∞:
lim (x→±∞) (x*arctgx) = ±∞*arctg(±π/2).
Значит, у функции есть вертикальные асимптоты на прямых x=±∞.
Теперь рассмотрим поведение функции на горизонтальные асимптоты. Горизонтальные асимптоты могут возникнуть, когда значение arctgx стремится к ±π/2 при x, стремящемся к какому-то конечному числу.
Значит, у функции есть горизонтальные асимптоты на прямых y=±a*(π/2).
Теперь перейдем к построению графика функции y=x*arctgx.
1. Прямая y=0 представляет собой одну из асимптот функции, так как y=0 при x=0.
2. Горизонтальные асимптоты находятся на прямых y=±a*(π/2), где а - это некоторое конечное число.
3. Функция монотонно убывает на интервале (0,+∞) и монотонно возрастает на интервале (-∞,0), так как мы уже доказали это в предыдущих шагах.
4. Точка (0,0) является точкой перегиба графика функции, так как при изменении х с положительного на отрицательное значение происходит изменение выпуклости графика.
Таким образом, график функции y=x*arctgx будет иметь следующий вид:
- Ветвь графика, расположенная в первой и третьей четвертях, будет зеркальным отражением второй и четвертой четверти соответственно. Ветвь графика будет проходить через точку (0,0).
- График будет иметь вертикальные асимптоты на прямых x=±∞.
- График будет иметь горизонтальную асимптоту на прямой y=0.
Надеюсь, что данное исследование функции и построение графика было понятным для вас. Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
Исследование функции y=x*arctgx необходимо начать с определения ее области определения. В данном случае функция определена для всех значений x, за исключением x=0. Выберем произвольную точку x0=0 и найдем предел функции y при x, стремящемся к x0=0:
lim (x→x0) (x*arctgx)
= lim (x→0) (x * 0)
= 0
Значит, функция непрерывна на всей прямой, за исключением точки x=0.
Далее, найдем производную функции y=x*arctgx. Для этого воспользуемся формулой производной произведения двух функций:
(y)' = (u'v + uv')/v^2,
где u=x и v=arctgx.
(u)' = 1, так как производная x равна 1,
(v)' = 1/(1+x^2), так как производная arctgx равна 1/(1+x^2).
Подставим значения в формулу производной:
(y)' = (1*arctgx + x*(1/(1+x^2)))/(arctgx)^2.
Упростим полученное выражение:
(y)' = (arctgx + x/(1+x^2))/(arctgx)^2.
Чтобы найти точки экстремумов и монотонность функции, приравняем производную к нулю:
arctgx + x/(1+x^2) = 0.
Допустим, что это уравнение не имеет решений в области определения функции. Тогда, оно имеет решение на границе области определения, то есть при x=0. Проверим это, вычислив значение производной в этой точке:
(y)'(0) = (arctg0 + 0/(1+0^2))/(arctg0)^2
= (0+0)/(0)^2
= 0.
Полученное значение равно 0, что говорит о том, что функция не имеет экстремумов в области определения.
Далее, изучим поведение функции на интервалах, ограниченных точками разрывов. Функция x*arctgx является четной, что можно заметить из графика. Таким образом, достаточно изучить поведение функции на положительной полуоси.
На интервале (0,+∞) функция является положительной, так как x>0 и arctgx>0 на этом интервале. Кроме того, функция убывает при увеличении x, так как ее производная на данном интервале меньше 0:
(y)'(x) = (arctgx + x/(1+x^2))/(arctgx)^2.
Подставим произвольное значение x1>0:
(y)'(x1) = (arctgx1 + x1/(1+x1^2))/(arctgx1)^2.
Очевидно, что числитель положителен, а знаменатель положителен, так как arctgx1>0. Значит, производная (y)'(x) меньше 0 на интервале (0,+∞), и функция x*arctgx является убывающей на данном интервале.
Теперь, проанализируем поведение функции на интервале (-∞,0). Поскольку функция x*arctgx является четной, то ее график симметричен относительно оси y. Таким образом, изучив поведение функции на положительной полуоси, мы можем сделать выводы о ее поведении на отрицательной полуоси.
Исследуем теперь функцию на вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты могут возникнуть, когда значение arctgx стремится к ±π/2. Определим пределы функции при х, стремящемся к ±∞:
lim (x→±∞) (x*arctgx) = ±∞*arctg(±π/2).
Значит, у функции есть вертикальные асимптоты на прямых x=±∞.
Теперь рассмотрим поведение функции на горизонтальные асимптоты. Горизонтальные асимптоты могут возникнуть, когда значение arctgx стремится к ±π/2 при x, стремящемся к какому-то конечному числу.
lim (x→±a) (x*arctgx) = ±a*arctg(±π/2) = ±a*(π/2).
Значит, у функции есть горизонтальные асимптоты на прямых y=±a*(π/2).
Теперь перейдем к построению графика функции y=x*arctgx.
1. Прямая y=0 представляет собой одну из асимптот функции, так как y=0 при x=0.
2. Горизонтальные асимптоты находятся на прямых y=±a*(π/2), где а - это некоторое конечное число.
3. Функция монотонно убывает на интервале (0,+∞) и монотонно возрастает на интервале (-∞,0), так как мы уже доказали это в предыдущих шагах.
4. Точка (0,0) является точкой перегиба графика функции, так как при изменении х с положительного на отрицательное значение происходит изменение выпуклости графика.
Таким образом, график функции y=x*arctgx будет иметь следующий вид:
- Ветвь графика, расположенная в первой и третьей четвертях, будет зеркальным отражением второй и четвертой четверти соответственно. Ветвь графика будет проходить через точку (0,0).
- График будет иметь вертикальные асимптоты на прямых x=±∞.
- График будет иметь горизонтальную асимптоту на прямой y=0.
Надеюсь, что данное исследование функции и построение графика было понятным для вас. Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!