I. 1. Плотник Ёся делает стол в форме равностороннего треугольника площади S. Сын плотника, в свободное от путешествий с друзьями время, отмечает точки, которые делят каждую сторону треугольника на две равные части, и отрезает у треугольника три угла по прямым, соединяющим отмеченные точки. Далее к получившейся фигуре он применяет ту же операцию. Найдите площадь фигуры после n-го разреза. 2. Пусть теперь Ёся делает фигуру в форме квадрата площадиS, а его сын продолжает свои шалости (отпиливает уголки по отмеченным точкам). Какая теперь площадь получится после n-ого разреза.
3. Решите предыдущий пункт в случае, когда исходный стол — правильный M-угольник площадиS.
II. Пусть теперь сын Ёси на каждом шаге отмечает на сторонах точки, делящие стороны на 3 равные части и отрезает уголки, стороны которых равны 1/3 стороны (см. рисунок).
Решите пункты I.1–I.3 в этом случае.

III. Пусть теперь сын Ёси отмечает точки, делящие стороны на 3 равные части и не отпиливает уголки, а выпиливает из стола фигуры, равные этим уголкам и опирающиеся на отмеченные точки (см. рисунок про квадрат). Если стол в какой-то момент распадётся на части (см. рисунок про треугольники), то сын Ёси продолжит выпиливать уголки из каждой части.

1. Какова площадь получающегося стола после n-й операции, если исходный стол имел форму правильного треугольника площади S?
2. А если исходный стол имеет форму квадрата площади S?
3. Попробуйте решить эту же задачу для правильногоM-угольника площади S.
IV. Пусть теперь стол имеет форму прямоугольника a´b, где ab=S. Попробуйте решить пункты I–III в этом случае. А если стол имеет форму прямоугольного треугольника с катетами x и y?
V. Попробуйте повторить исследования пунктов I–IV в случае, когда сын Ёси делит стороны получаемых фигур на k равных частей. Интересны будут даже рассуждения, проведённые для конкретныхk¹ 2, 3.
VI. Предложите и исследуйте свои обобщения для данной задачи. Например, обобщите данную задачу для объёмов деревянных фигур, у которых сын Ёси так же отпиливает или вырезает углы.

ответ Замятина - "силой Разума" на рисунках в приложении.

Всё решение начинается от ТОЧКИ.

Одна точка А - ничтожная малость, но ведь такиех точек бесконечно много и из них можно построить множество фигур разной формы.

У плоских многоугольников -стороны фигуры являются отрезками прямых линий - у треугольника их три, а у квадрата - четыре.

Простейшая плоская фигура, но совсем без углов - это круг.Так и хочется назвать: круг - безугольник, а шар (сфера) - безгранник.  Сфера, круг, как и квадрат "идеальные" фигуры - минимальный объём, минимальный периметр.

Попробуем превратить часть круга в отрезок прямой - положить его на прямую и .... получим биугольник - фигуру с двумя углами - рисунок в приложении.

Дальнейшие рассуждения приводят к нам к фигуре которая состоит из трёх отрезков и части круга. Получилась фигура и не треугольник и не квадрат. Назовём, например, трируг.

Всё это решение, конечно, фантазия на тему как одна фигура превращается в другую. А всё это начинается обычной, бесконечно-малой  математической точки А.

     Основной причиной лесных пожаров является безответственное поведение людей, которые не проявляют в лесу долж­ной осторожности при пользовании огнем и нарушают правила пожарной безопасности. Поэтому профилактические мероприятия должны быть направлены на усвоение правил поведе­ния в лесу.

В пожароопасный сезон в лесу запрещается:

•   бросать на землю горящие спички — попав в сухую траву или мох, они вызовут их возгорание;

•   оставлять на освещенной солнцем лесной поляне бутылки или осколки стекла, которые, фокусируя лучи солнца, как линзы, могут вызвать возгорание сухой травы;   

•   выжигать траву под деревьями, на лесных полянах, прога­линах и лугах, а также стерню на полях;

•   разводить костры в хвойных молодняках, торфяниках, ле­сосеках с порубочными остатками, в местах с подсохшей травой.

Необходимо соблюдать правила разведения костра в лесу.

2.         Для защиты населения от последствий лесных пожаров и снижения материального ущерба от массовых лесных пожа­ров в нашей стране функционирует система охраны леса.

Основными элементами этой системы в Российской Феде­рации являются: специализированная служба авиационной охраны лесов (авиалесоохрана), лесопожарные подразделения, персонал и технические средства лесхозов (наземная лесная охрана); персонал и технические средства других предприятий и организаций, привлекаемые для борьбы с пожарами в усло­виях высокой и чрезвычайной горимости лесов.

Для защиты населения от последствий лесных пожаров проводятся также заблаговременные мероприятия по ограниче­нию распространения лесных пожаров. По опушкам лесов и вдоль дорог высаживают лиственные породы деревьев. В лесах прокладывают просеки и грунтовые полосы шириной 5—10 м в смешанных лесах и до 50 м в хвойных лесах. Леса очищают от мусора, сухостойных и поваленных ветром деревьев, проводят санитарные рубки. В населенных пунктах роют пруды и водо­емы, емкость которых определяется из расчета не менее 30 м3 на 1 га площади поселка или населенного пункта. На границах леса с сельскохозяйственными угодьями, вдоль железных и ав­томобильных дорог общего назначения создают противопожар­ные защитные полосы.

3.         Рассматривая содержание третьего вопроса, целесооб­разно обсудить с обучаемыми правила поведения в лесу при пожаре.

Если возникло возгорание — от костра загорелась сухая тра­ва, и огонь побежал по ней, в самом начале такой пожар можно потушить, не имея для этого специальных средств. Огонь надо захлестывать, сметая его в сторону очага пожара, используя для этого веник из зеленых ветвей, молодое деревце, мешковину или даже одежду. Небольшие очаги пламени можно затаптывать ногами. Можно забрасывать кромку пожара землей, если в вас под рукой оказалась лопата.

Если вы не можете бороться с огнем, от него надо уйти. Скорость распространения низового пожара — 1—3 м/мин.  Скорость движения человека:

•   при спокойной ходьбе — 4 км/ч, это 66 м/мин;

•   при быстром шаге — 6 км/ч, это 100 м/мин;

•   при беге — 12 км/ч (1 км за 5 мин), это 200 м/мин.

Идти надо навстречу ветру, перпендикулярно кромке пожара, выбирая для этого лесные просеки, дороги, берега ручьев н рек. При сильном задымлении рот и нос нужно прикрывать, используя для этого имеющиеся у вас средства (мокрая ватно-марлевая повязка, мокрое полотенце, носовой платок, головной убор, одежда).

Если невозможно уйти от пожара, войдите в водоем или наш кройтесь   мокрой   одеждой,   дышите   воздухом   возле   земли лежа, — там он меньше задымлен.

После выхода из зоны пожара сообщите о месте, размерах и характере пожара в администрацию близлежащего населенного пункта, лесничество или противопожарную службу.