IV. Тригонометрия. Решение треугольника.
Упрощение тригонометрических выражений.
1. Реши треугольник и найди его площадь, если
a) b = 14 дм, а = 54°, B = 72°;
b) a = 22 мм , b = 40 мм, Y = 42°;
c) a = 18см, b = 12 см, с = 10 см.
2. Ярко светит солнце и с верхушки трубы видно землю под углом 52°.
Найди высоту трубы, если длина тени отбрасываемая трубой равна 7,2 м.
a / sin A = b / sin B = c / sin C
a / sin 54° = 14 / sin 72°
a = 14 * sin 54° / sin 72° ≈ 10.62 дм
Тепер знайдемо кут C:
C = 180° - A - B = 180° - 54° - 72° = 54°
За формулою Герона знайдемо площу трикутника:
p = (a + b + c) / 2 = (10.62 + 14 + c) / 2 ≈ 17.31 дм
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √(17.31(17.31-10.62)(17.31-14)(17.31-c)) ≈ 57.46 дм²
Отже, площа трикутника дорівнює близько 57.46 дм².
1b) За теоремою синусів:
a / sin Y = b / sin B = c / sin C
c = √(a² + b² - 2ab*cos Y)
c = √(22² + 40² - 2*22*40*cos 42°) ≈ 33.37 мм
Знайдемо кут C:
C = 180° - Y - B = 180° - 42° - 180° + arcsin((b*sin Y) / c) = arcsin((22*sin 42°) / 33.37) ≈ 28.05°
За формулою Герона знайдемо площу трикутника:
p = (a + b + c) / 2 = (22 + 40 + 33.37) / 2 ≈ 47.69 мм
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √(47.69(47.69-22)(47.69-40)(47.69-33.37)) ≈ 395.41 мм²
Отже, площа трикутника дорівнює близько 395.41 мм².
1c) За теоремою косинусів:
c² = a² + b² - 2ab*cos C
cos C = (a² + b² - c²) / 2ab
cos C = (18² + 12² - 10²) / (2 * 18 * 12) = 23 / 36
C = arccos(23 / 36) ≈ 49.77°
За формулою Герона знайдемо площу трикутника:
p = (a + b + c) / 2 = (18 + 12 + 10) / 2 = 20
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √(20(20-18)(20-12)(20-10)) = √(