Карлосон і малюк придбали тістечка та з'їли їх за 1 годину 20 хвилин . Якби Карлсон за хвилину з'їдав на 14%більше , а малюк на 15 % більше то вони б зїли всі тістечка на 10 хвилин швидше. З'ясуйте хто з'їдає більше тістечок за хвилину та у скільки разів.
f(x) = (х + 2)(х - 3)(х - 5)
Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки
(
−
∞
;
−
2
)
,
(
−
2
;
3
)
,
(
3
;
5
)
и
(
5
;
+
∞
)
Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.
Выражение (х + 2)(х - 3)(х - 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:
(
−
∞
;
−
2
)
(
−
2
;
3
)
(
3
;
5
)
(
5
;
+
∞
)
x+2 – + + +
x-3 – – + +
x-5 – – – +
Отсюда ясно, что:
если
x
∈
(
−
∞
;
−
2
)
, то f(x)<0;
если
x
∈
(
−
2
;
3
)
, то f(x)>0;
если
x
∈
(
3
;
5
)
, то f(x)<0;
если
x
∈
(
5
;
+
∞
)
, то f(x)>0.
Мы видим, что в каждом из промежутков
(
−
∞
;
−
2
)
,
(
−
2
;
3
)
,
(
3
;
5
)
,
(
5
;
+
∞
)
функция сохраняет знак, а при переходе через точки -2, 3 и 5 ее знак изменяется.
-2 3 5
Вообще пусть функция задана формулой
f(x) = (x-x1)(x-x2) ... (x-xn),
где x–переменная, а x1, x2, ..., xn – не равные друг другу числа. Числа x1, x2, ..., xn являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.
Это свойство используется для решения неравенств вида
(x-x1)(x-x2) ... (x-xn) > 0,
(x-x1)(x-x2) ... (x-xn) < 0,
где x1, x2, ..., xn — не равные друг другу числа
Рассмотренный решения неравенств называют методом интервалов.
Приведем примеры решения неравенств методом интервалов.
Решить неравенство:
x
(
0
,
5
−
x
)
(
x
+
4
)
<
0
Очевидно, что нулями функции f(x) = x(0,5-x)(x+4) являются точки
x
=
0
,
x
=
1
2
,
x
=
−
4
Наносим на числовую ось нули функции и вычисляем знак на каждом промежутке:
-4 0 0,5
Выбираем те промежутки, на которых функция меньше нуля и записываем ответ.
x
∈
(
−
4
;
0
)
∪
(
0
,
5
;
+
∞
)
или
−
4
<
x
<
0
;
x
>
0
,
5
Решить неравенство:
x
+
2
x
−
1
≤
2
x
+
2
x
−
1
≤
2
⇒
x
+
2
−
2
(
x
−
1
)
x
−
1
≤
0
⇒
−
x
+
4
x
−
1
≤
0
Наносим на числовую ось нули и точки разрыва функции:
1 4
Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ.
x
∈
(
−
∞
;
1
)
∪
[
4
;
+
∞
)
или
x
<
1
;
x
≥
4
1 ваза- 3 розы
Всего-?
2 ваза- 3 розы
3+3=6(р)-В двух вазах
(3*2=6)
ответ: 6 роз
2
1кр-4
2 кр-4 всего-?
3кр-4
4кр-4
4*4-16*ножек)- у четырех кресео
ответ: 16
3
1 полка-2 кастр
2 полка-2 кастр всего-?
3 полка-2кастр
2*3=6(кастр)- на трех полках
ответ: 6 кастрюль
4.
1дом-9 подъездов
всего-?
2 дом- 9 подъездов
9*2=18(п)-В двух домах
ответ:18
5.
1 паук-8л
2паук-8л всего=?
3 паук-8л
8*3=24(л)у трех паучков
ответ: 24 лап
6.
1пенал -4 р
всего-?
2 пенал-4 р
4*2=8((ручки)- в двух пеналах
ответ: 8
7
1сом-2 уса
2сом-2уса
3сом-2уса
4сом-2уса всего-?
5сом-2уса
6сом-2уса
7сом-2уса
7*2=14(у)
ответ: 14 усов у семи сомов
8
1 кл- 4п
2кл-4п
3кл-4п всего-?
4кл-4п
5кл-4п
5*4-20(п)
ответ:20 попугаев в 5 клтках
9
1б-3л
2б-3л
3б-3л
4б-3л
5б-3л всего-?
6б-3л
7б-3л
8б-3л
9б-3л
9*3=27(л)
ответ:27 оитров 9 трехлитровых банках
10
1п- 3кг
2п-3кг всего-?
3п-3кг
4п-3кг
4*3=12(овощей
ответ: 12 килограммов в 4 пакетах