Куб суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами относится к сумме кубов ее членов как 13:4. Найти знаменатель прогрессии.
Сумма прогрессии S1=b1/(1-q), где b1 и q - первый член и знаменатель прогрессии. Отсюда куб этой суммы S1³=b1³/(1-q)³. Сумма кубов прогрессии S2=b1³+b1³*q³+b1³*q⁶+b1³*q⁹+...)=b1³*(1+q³+q⁶+q⁹+...)=b1³/(1-q³). Так как по условию S1³/S2=13/4, то отсюда следует уравнение (1-q³)/(1-q)³=13/4. А так как 1-q³=(1-q)*(1+q+q²), причём q≠1 (иначе прогрессия не была бы убывающей), то числитель и знаменатель можно сократить на 1-q, и тогда уравнение принимает вид (q²+q+1)/(1-q)²=13/4. Это уравнение приводится к квадратному уравнению 9*q²-30*q+9=0, или 3*q²-10*q+3=0. Оно имеет решения q1=3 и q2=1/3, но так как прогрессия - убывающая, то q<1. Отсюда следует, что q=1/3.
ответ: 1/3.
Пошаговое объяснение:
Сумма прогрессии S1=b1/(1-q), где b1 и q - первый член и знаменатель прогрессии. Отсюда куб этой суммы S1³=b1³/(1-q)³. Сумма кубов прогрессии S2=b1³+b1³*q³+b1³*q⁶+b1³*q⁹+...)=b1³*(1+q³+q⁶+q⁹+...)=b1³/(1-q³). Так как по условию S1³/S2=13/4, то отсюда следует уравнение (1-q³)/(1-q)³=13/4. А так как 1-q³=(1-q)*(1+q+q²), причём q≠1 (иначе прогрессия не была бы убывающей), то числитель и знаменатель можно сократить на 1-q, и тогда уравнение принимает вид (q²+q+1)/(1-q)²=13/4. Это уравнение приводится к квадратному уравнению 9*q²-30*q+9=0, или 3*q²-10*q+3=0. Оно имеет решения q1=3 и q2=1/3, но так как прогрессия - убывающая, то q<1. Отсюда следует, что q=1/3.