Мектепішілік олимпиадаға қатысқан 14 оқушы 58 есеп
шығарды. олардың кейбіреулері 2 есеп, 3 есеп, 4 есеп
шығарды. олимпиадаға қатысқан оқушылардың кейбіреулері
5-тен кем емес есеп шығарғандығын дәлелдеңдер.​

1) Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
   S = a²

2) Формула площади треугольника по стороне и высоте
     1. Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
S = 
      2. Формула площади треугольника по трем сторонам 
Формула Герона
S = √p(p - a)(p - b)(p - c)

      3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними 
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.
S =  a · b · sin γ 

     4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
S = 

     5.Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
S = p · r

где S - площадь треугольника,
a, b, c - длины сторон треугольника,
h - высота треугольника,
γ - угол между сторонами a и b,
r - радиус вписанной окружности,
R - радиус описанной окружности,
p = a + b + c  - полупериметр треугольника.

3) площадь параллелограмма 
1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
S = a · h

2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.
S = a · b · sin α

где S - Площадь параллелограмма,
a, b - длины сторон параллелограмма,
h - длина высоты параллелограмма,
α - угол между сторонами параллелограмма.

4) Следствие 1: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Следствие 2: Если высоты двух треугольников равны ,то их площади относятся как основания. Воспользовавшись этим следствием докажем теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

5) теорема об площади имеющие равные углы 
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. 

6) Площадь трапеции
   Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:
S = ((AD + BC) / 2) · BH,
где высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

7) Площадь ромба
 Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:
S = (AC · BD) / 2.

8)  теорема обратная теореме Пифагора 
Если в треугольнике со сторонами a, b и c выполняется равенство c² = a² + b² , то этот треугольник прямоугольный, причем прямой угол противолежит стороне c.

Как и повсюду, в пустыне пищевые цепи начинаются с растений. именно растения - " основа" существования всех животных, так как только они могут создавать органические вещества из неорганических. следующее звено - растительноядные формы, которых мы найдём во всех группах животных, но пальма первенства здесь принадлежит насекомым и грызунам. в период изобилия, вскоре» после дождей, им живется вольготно, а вот во время засухи приходится довольствоваться крайне скудным пайком-жесткими стеблями и корнями или только семенами. семена, , есть всегда в достаточном количестве, однако этого не скажешь, если судить по безжизненному пустынному ландшафту.  муравьи-жнецы рода родопотугтех в северной америке ежедневно в недолгие относительно прохладные утренние и вечерние часы тащат семена в свои муравейники, расположенные на глубине 4-5 м под землей. при этом они предпочитают только два вида растений. в период дождей они берут, правда, и другие семена, возвращаясь в сухое время года к своей излюбленной пище. поскольку сообщества этих муравьев весьма многочисленны и ежедневно пополняют запасы корма (семян), то надо думать, на поверхности земли имеется немалое их количество. согласно подсчетам, на 4000 м2 почвы можно собрать до 1,45 млрд. семян. а это значительно больше, чем могут уничтожить встречающиеся в этой местности животные.  если грызуны живут преимущественно за счет семян или листьев и стеблей (содержащих воду) растений, то среди птиц лишь немногие виды питаются исключительно растительной пищей, к примеру рябки и голуби. еще реже встречаются растительноядные формы среди пресмыкающихся. в сахаре уже упоминавшийся шипохвост питается почти исключительно растительной пищей. в пустынях северной америки живут также растительноядные пустынные игуаны, например чаквала (sauromalus ater). стоит упомянуть также, что в пустынях намиб и атакама ветер разносит остатки растений и мертвых животных, которыми питаются определенные насекомые.  последнее крупное звено пищевой цепи - плотоядные. звено это, впрочем, многоступенчатое, так как одни плотоядные формы служат пищей для других. поэтому здесь более приемлем термин «пищевые связи». основу такой структуры составляют членистоногие (насекомые, пауки и клещи) и грызуны. ими питаются, например, ящерицы и змеи, которые в свою очередь становятся жертвами лисиц, каракалов, сов и дневных хищников. так, средиземноморский (falco biarmicus) и пустынные курганники ловят преимущественно ящериц и змей. жизнь плотоядных в конечном итоге полностью зависит от обилия растительноядных животных. в первую очередь хищники уничтожают молодых животных. высокие темпы размножения и быстрое изменение возрастного состава популяций растительноядных определяют постоянные колебания численности этих животных. весьма своеобразно приспосабливаются к неравномерности пищевых запасов некоторые птицы пустынь, которые гнездятся либо после дождей, либо в те месяцы, когда пищи по какой-то причине бывает больше.