Мистер фокс написал на доске несколько натуральных чисел, наибольшее из которых равно 54
. через час пришел мистер форд, посчитал количество чисел больших 1
, количество чисел больших 2
, …, количество чисел больших 53
. все эти количества форд просуммировал и получил число k
. еще через час пришел мистер фолк, посчитал количество чисел меньших
, количество чисел меньших 1
, …, количество чисел меньших 2 количество чисел меньших 54
. сумма полученных количеств получилась равна m
. оказалось, что k+m=13462
. сколько чисел записал на доске изначально мистер фокс?
Пусть на доске изначально записаны x чисел. Заметим, что после двух подсчетов мистера Форда и мистера Фолка количество каждого из чисел будет учитываться ровно 53 раза. Действительно, пусть изначально было записано k единиц. При первом подсчете мистера Форда число k, то есть количество единиц не войдет в сумму, так как подсчет начинаем с чисел больших единицы. При втором подсчете мистера Фолка количество единиц войдет в сумму 53 раза (учитываются числа меньшие двух, числа меньшие трех..., числа меньшие 54). Таким образом количество единиц будет учитываться ровно 53 раза и будет равно 53k. То же самое и с другими записанными числами. Пусть было записано m двоек. Количество записанных двоек войдет в первую сумму мистера Форда один раз (учитываются числа большие единицы). При втором подсчете мистера Фолка количество двоек войдет в сумму 52 раза (учитываются числа меньшие трех, числа меньшие четырех..., числа меньшие 54). Снова имеем количество двоек, которое будет учитываться в конечной сумме, равное 53m. Таким образом, количество каждого из записанных чисел будет учитываться в конечной сумме 53 раза. Поэтому эта сумма будет иметь вид 53(k + m + ... + l), где k - количество единиц, m - количество двоек, ... l - количество чисел 54. Сумма k + m + ... + l и является нашей искомой суммой x = k + m + ... + l. Так как конечная сумма равна 13462, то имеем 53(k + m + ... + l) = 13462 => 53x = 13462 => x = 13462/53 = 254.
ответ: Изначально было записано 254 числа.