На 10 карточках написаны соответственно числа от 0 до 9. Сколько существует вариантов выбора 2 карточек, таких чтобы из выбранных чисел получилась сократимая дробь?

уравнение).
Пусть х (км) - длина всего пути, тогда 5/14х (км) участники в первый день, 8/21х (км) - во второй и 99 км - в третий.
х = 5/14х + 8/21х + 99
х = 15/42х + 16/42х + 99
х - (15/42х + 16/42х) = 99
х - 31/42х = 99
11/42х = 99
х = 99 : 11 * 42
х = 378

по действиям). Весь путь примем за единицу (целое).
1) 5/14 + 8/21 = 15/42 + 16/42 = 31/42 - часть пути, пройденная за два дня;
2) 1 - 31/42 = 42/42 - 31/42 = 11/42 - часть пути, равная 99 км;
3) Находим целое по его части: 
99 : 11 * 42 = 378 (км) - длина пути.
ответ: 378 км.

0,(5) = 5/9;   0,(75) = 25/33;  0,3(6) = 11/30;   0,19(60) = 647/3300
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
= [5/9 + 1 цел 25/33 + 11/30] : (1/4 + 2 цел 5/13 + 109/156) + 647/3300 = 1

1) 5/9 + 1 цел 25/33 = 55/99 + 1 цел 75/99 = 1 цел 130/99 = 2 цел 31/99
2) 2 цел 31/99 + 11/30 = 2 цел 310/990 + 363/990 = 2 цел 673/990
3) 1/4 + 2 цел 5/13 = 13/52 + 2 цел 20/52 = 2 цел 33/52
4) 2 цел 33/52 + 109/156 = 2 цел 99/156 + 109/156 = 2 цел 208/156 = 3 цел 52/156 = 3 цел 1/3
5) 2 цел 673/990 : 3 цел 1/3 = 2653/990 : 10/3 = 2653/990 * 3/10 = 2653/3300
6) 2653/3300 + 647/3300 = 3300/3300 = 1