На доске написано 23 различных числа. Полина к некоторым числам прибавила 1, к некоторым — 12, а ко всем оставшимся — 123. Среди новых 23 чисел могли появиться одинаковые. Какое наименьшее количество различных чисел могло быть среди новых чисел?

Признак делимости числа на 14: 
а) число делится на 2 и 7;
б) последняя цифра  четная или 0;
в) разность числа без последней цифры и удвоенной последней цифры кратна 7.
Признак делимости на 4;
а) число оканчивается на два нуля;
б) число оканчивается на 2 цифры, которые выражают число, кратное 4.
     Будем искать трухзначное число abc, удовлетворяющее условию задачи:
кратность 14-и можно выразить формулой ab-2c => кратно 7,
возьмем 0, как последнюю цифру, тогда: ab-2*0 => кратно 7,
0 не может быть второй цифрой тоже, потому, что, в этом случае число будет делиться на 4,
 тогда второй цифрой возьмем 1: а1-2*0 => кратно 7,
ближайшая к единице цифра 2 превращает сочетание а1 в чмсло 21, которое кратно 7 (21/7=3), тогда
21-2*0=21-0=21 => кратно 7.
     Искомое число 210 - соблюдены все условия задачи:
210/14=15 - число делится на 14
210/4=52.5 - число не делится на 4

Что бы получить периметр 64 см, стороны прямоугольника могут иметь следующие длины:             а площадь при этом получится:
P=2(a+b)                                       S=a*b
a+b=32
1 и 31                                             31
2 и 30                                             60
3 и 29                                             87
4 и 28                                             112
5 и 27                                             135
6 и 26                                             156
7 и 25                                             175
8 и 24                                             192
9 и 23                                             207
10 и 22                                          220
11 и 21                                           231
12 и 20                                           240
13 и 19                                           247
14 и 18                                           252
15 и 17                                           255
16 и 16                                           256
дальше длины начнут повторяться, а значит наибольшая площадь 256 см² будет при длине сторон 16 см.