В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Х
Химия
Д
Другие предметы
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
М
Музыка
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
У
Українська література
Р
Русский язык
Ф
Французский язык
П
Психология
О
Обществознание
А
Алгебра
М
МХК
Г
География
И
Информатика
П
Право
А
Английский язык
Г
Геометрия
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
troffpolina2003
troffpolina2003
24.08.2021 15:48 •  Математика

На праздник к Деду Морозу пришло много детей. Каждый со своим подарком, который принесли родители.
Дед Мороз был "весел" и все принесенные подарки собрал в свой огомный мешок. А в конце праздника раздал подарки детям случайным образом.
Чему равна вероятность, что хотя бы один ребенок получит подарок от своих родителей?

Показать ответ
Ответ:
викусямиуся
викусямиуся
03.09.2021 16:24

P(A)=1-\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k}{k!}\underset{n\to\infty}{\to} 1-\dfrac{1}{e}\approx 0.63

Пошаговое объяснение:

Пусть всего детей было n, и у родителей по одному ребенку.

Событие A="Хотя бы один ребенок получит подарок от своих родителей" противоположно событию B="Ни один ребенок не получит подарок от своих родителей". Значит, искомая вероятность P(A)=1-P(B).

Найдем количество вариантов раздачи подарков, при которых каждый ребенок получит подарок от чужих родителей.

Рассмотрим таблицу n\times n (см. приложение). Столбец соответствует родителям, строка - детям, выбор ячейки на пересечении i-ой строки и j-ого столбца означает, что i-ый ребенок получил подарок от j-ых родителей [ячейки диагонали не рассматриваются, т.к. получение подарка от своих же родителей - неподходящая ситуация]. Требуется выбрать n ячеек такой таблицы так, чтобы в каждом столбце и строке была выбрана ровно одна ячейка [каждый ребенок получил подарок не от своих родителей, и каждый родитель вручил подарок не своему ребенку].

А это известная задача о расстановке ладей, не бьющих друг друга и не находящихся на одной из диагоналей, для которой было получено явное выражение числа вариантов [подробнее, например, Окунев Л. Я. Комбинаторные задачи на шахматной доске. — 1935 , с .8-14]

Q_n=n!\sum\limits_{k=2}^n \dfrac{(-1)^n}{k!}

Всего вариантов раздачи подарков P_n=n!.

Но тогда P(B)=\dfrac{Q_n}{n!}=\sum\limits_{k=2}^n \dfrac{(-1)^k}{k!}.

Отсюда P(A)=1-\sum\limits_{k=2}^n \dfrac{(-1)^k}{k!}=1-\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k}{k!}

________________________

Теперь рассмотрим ситуацию при n\to\infty

Используя разложение e^x=\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{x^k}{k!}, получим при x=-1 равенство

\dfrac{1}{e}=\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k}{k!}.

Значит, \lim\limits_{n\to\infty}P(A)=1-\dfrac{1}{e}


На праздник к Деду Морозу пришло много детей. Каждый со своим подарком, который принесли родители.
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота