На сторонах ромба ABCD, острый угол которого равен 60°, расположены векторы BA−→− и BC−→−, длина которых — 20 ед. Определи длину вектора разности BA−→− − BC−→−.
Добрый день! В роли учителя я готов ответить на ваш вопрос и объяснить его решение.
Для начала, давайте визуализируем ромб ABCD и заданные векторы BA→ и BC→.
B
/ \
A---C
\ /
D
У нас есть острый угол ABC, который равен 60°. Это значит, что угол BAC, а также угол BCA, также равны 60°. Обозначим угол BCA как α.
Теперь давайте определим разность векторов BA→ и BC→. Это можно сделать, вычтя вектор BC→ из вектора BA→. То есть разность векторов BA→ и BC→ обозначим как BA→ - BC→.
Длина вектора разности BA→ - BC→ определяется следующим образом:
|BA→ - BC→| = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²),
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты концов векторов BA→ и BC→ соответственно.
Теперь, чтобы найти разность векторов, нам нужно найти координаты их концов. Для этого нам понадобится знание о том, как представляются векторы.
Вектор BA→ представляется как разность координат конца A и начала B: BA→ = (x2 - x1, y2 - y1).
Вектор BC→ представляется как разность координат конца C и начала B: BC→ = (x3 - x1, y3 - y1).
Таким образом, в нашем случае:
BA→ = (x2 - x1, y2 - y1),
где x1 и y1 - координаты начала вектора BA→ (то есть точки B), а x2 и y2 - координаты конца вектора BA→ (то есть точки A).
BC→ = (x3 - x1, y3 - y1),
где x1 и y1 - координаты начала вектора BC→ (то есть точки B), а x3 и y3 - координаты конца вектора BC→ (то есть точки C).
Теперь нам осталось только подставить найденные координаты в формулу для нахождения длины вектора разности. В нашем случае это будет формула:
У нас есть только длина векторов BA→ и BC→, а нам нужны координаты, чтобы найти длину вектора разности. Поэтому нам нужно использовать геометрические свойства ромба.
Ромб обладает несколькими свойствами, относящимися к длинам его сторон и длине диагоналей. Одно из таких свойств состоит в том, что вектор, проведенный от вершины ромба до его середины, является полусуммой векторов, проведенных от этой вершины до каждой из противоположных вершин.
В нашем случае это означает, что вектор, проведенный от точки B до середины AC будет полусуммой векторов BA→ и BC→. Обозначим этот вектор как BD→.
Так как нам известна длина стороны ромба (20 ед.), а угол BAC = 60°, мы можем рассчитать BD→.
Одна полусумма сторон ромба равна 20/2 = 10, так как векторы BA→ и BC→ имеют одинаковые длины. Используя технику разложения вектора на две составляющие, получим BD→ = 10(cos(α), sin(α)), где α = 60°.
Теперь у нас появилась информация о длине вектора BD→ и его направлении. Осталось найти длину вектора разности BA→ - BC→, которую мы и искали.
|BA→ - BC→| = |BA→ + (-BC→)| = |BA→ + BD→|.
Так как вектор BA→ + BD→ является вектором, проведенным от точки B до конца D, его длина будет равна BD→, то есть 10 ед.
Таким образом, искомая длина вектора разности BA→ - BC→ равна 10 ед.
Думаю, что я максимально подробно разъяснил решение данной задачи с обоснованием каждого шага и рассмотрением нужных геометрических свойств.
Для начала, давайте визуализируем ромб ABCD и заданные векторы BA→ и BC→.
B
/ \
A---C
\ /
D
У нас есть острый угол ABC, который равен 60°. Это значит, что угол BAC, а также угол BCA, также равны 60°. Обозначим угол BCA как α.
Теперь давайте определим разность векторов BA→ и BC→. Это можно сделать, вычтя вектор BC→ из вектора BA→. То есть разность векторов BA→ и BC→ обозначим как BA→ - BC→.
Длина вектора разности BA→ - BC→ определяется следующим образом:
|BA→ - BC→| = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²),
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты концов векторов BA→ и BC→ соответственно.
Теперь, чтобы найти разность векторов, нам нужно найти координаты их концов. Для этого нам понадобится знание о том, как представляются векторы.
Вектор BA→ представляется как разность координат конца A и начала B: BA→ = (x2 - x1, y2 - y1).
Вектор BC→ представляется как разность координат конца C и начала B: BC→ = (x3 - x1, y3 - y1).
Таким образом, в нашем случае:
BA→ = (x2 - x1, y2 - y1),
где x1 и y1 - координаты начала вектора BA→ (то есть точки B), а x2 и y2 - координаты конца вектора BA→ (то есть точки A).
BC→ = (x3 - x1, y3 - y1),
где x1 и y1 - координаты начала вектора BC→ (то есть точки B), а x3 и y3 - координаты конца вектора BC→ (то есть точки C).
Теперь нам осталось только подставить найденные координаты в формулу для нахождения длины вектора разности. В нашем случае это будет формула:
|BA→ - BC→| = √((x2 - x1 - x3 + x1)² + (y2 - y1 - y3 + y1)²),
что упрощается до:
|BA→ - BC→| = √((x2 - x3)² + (y2 - y3)²).
У нас есть только длина векторов BA→ и BC→, а нам нужны координаты, чтобы найти длину вектора разности. Поэтому нам нужно использовать геометрические свойства ромба.
Ромб обладает несколькими свойствами, относящимися к длинам его сторон и длине диагоналей. Одно из таких свойств состоит в том, что вектор, проведенный от вершины ромба до его середины, является полусуммой векторов, проведенных от этой вершины до каждой из противоположных вершин.
В нашем случае это означает, что вектор, проведенный от точки B до середины AC будет полусуммой векторов BA→ и BC→. Обозначим этот вектор как BD→.
Так как нам известна длина стороны ромба (20 ед.), а угол BAC = 60°, мы можем рассчитать BD→.
Одна полусумма сторон ромба равна 20/2 = 10, так как векторы BA→ и BC→ имеют одинаковые длины. Используя технику разложения вектора на две составляющие, получим BD→ = 10(cos(α), sin(α)), где α = 60°.
Теперь у нас появилась информация о длине вектора BD→ и его направлении. Осталось найти длину вектора разности BA→ - BC→, которую мы и искали.
|BA→ - BC→| = |BA→ + (-BC→)| = |BA→ + BD→|.
Так как вектор BA→ + BD→ является вектором, проведенным от точки B до конца D, его длина будет равна BD→, то есть 10 ед.
Таким образом, искомая длина вектора разности BA→ - BC→ равна 10 ед.
Думаю, что я максимально подробно разъяснил решение данной задачи с обоснованием каждого шага и рассмотрением нужных геометрических свойств.