Для того, чтобы решить геометрическую задачу методом координат, необходима точка пересечения, координаты которой используются при решении. Возникает ситуация, когда требуется искать координаты пересечения двух прямых на плоскости или определить координаты тех же прямых в пространстве. Данная статья рассматривает случаи нахождения координат точек, где пересекаются заданные прямые.
Точка пересечения двух прямых – определение
Необходимо дать определение точкам пересечения двух прямых.
Раздел взаимного расположения прямых на плоскости показывает, что они могут совпадать , быть параллельными, пересекаться в одной общей точке или скрещивающимися. Две прямые, находящиеся в пространстве, называют пересекающимися, если они имеют одну общую точку.
Определение точки пересечения прямых звучит так:
Определение 1 Точка, в которой пересекаются две прямые, называют их точкой пересечения. Иначе говоря, что точка пересекающихся прямых и есть точка пересечения. Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости
Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых, необходимо рассмотреть предлагаемый ниже пример.
Если на плоскости имеется система координат О х у , то задаются две прямые a и b . Прямой a соответствует общее уравнение вида A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 , для прямой b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Тогда M 0 ( x 0 ,
y 0 ) является некоторой точкой плоскости необходимо выявить , будет ли точка М 0 являться точкой пересечения этих прямых.
Чтобы решить поставленную задачу, необходимо придерживаться определения. Тогда прямые должны пересекаться в точке, координаты которой являются решением заданных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Значит, координаты точки пересечения подставляются во все заданные уравнения. Если они при подстановке дают верное тождество, тогда M 0 ( x 0 ,
y 0 ) считается их точкой пересечения.
Пример 1 Даны две пересекающиеся прямые 5 x − 2 y − 16 = 0 и 2 x − 5 y − 19 = 0 . Будет ли точка М 0 с координатами ( 2 , − 3 ) являться точкой пересечения.
Решение
Чтобы пересечение прямых было действительным, необходимо, чтобы координаты точки М 0 удовлетворяли уравнениям прямых. Это проверяется при их подстановки. Получаем, что
Наш город АлматыАлматы очень красивый город. Раньше наш город назывался Алма-ата что в переводе с казахского означало Дедушка яблок. и вправду- в нашем городе выращивали много много больших и сладких яблок. В алматы растет много разных цветов, деревьев и красивые степи и горы. Еще в наших краях живут белки, ежики, волки и много других животных. Алматы очень красивый и большой город, в алматы есть реки и небольшие озера. И хороший климат, я живу в квартире/доме /// Наш дом очень уютный и красивый, в саду растут яблоки, груши и ягоды///--Если ты живешь в квартире-- /// Наша квартира очень уютная, за окном есть детская площадка и небольшие деревца вокруг нее, там часто играют дети ///
Точка пересечения двух прямых – определение
Необходимо дать определение точкам пересечения двух прямых.
Раздел взаимного расположения прямых на плоскости показывает, что они могут совпадать , быть параллельными, пересекаться в одной общей точке или скрещивающимися. Две прямые, находящиеся в пространстве, называют пересекающимися, если они имеют одну общую точку.
Определение точки пересечения прямых звучит так:
Определение 1
Точка, в которой пересекаются две прямые, называют их точкой пересечения. Иначе говоря, что точка пересекающихся прямых и есть точка пересечения.
Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости
Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых, необходимо рассмотреть предлагаемый ниже пример.
Если на плоскости имеется система координат
О
х
у
,
то задаются две прямые
a
и
b
. Прямой
a
соответствует общее уравнение вида
A
1
x
+
B
1
y
+
C
1
=
0
, для прямой
b
-
A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
=
0
. Тогда
M
0
(
x
0
,
y
0
)
является некоторой точкой плоскости необходимо выявить , будет ли точка
М
0
являться точкой пересечения этих прямых.
Чтобы решить поставленную задачу, необходимо придерживаться определения. Тогда прямые должны пересекаться в точке, координаты которой являются решением заданных уравнений
A
1
x
+
B
1
y
+
C
1
=
0
и
A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
=
0
. Значит, координаты точки пересечения подставляются во все заданные уравнения. Если они при подстановке дают верное тождество, тогда
M
0
(
x
0
,
y
0
)
считается их точкой пересечения.
Пример 1
Даны две пересекающиеся прямые
5
x
−
2
y
−
16
=
0
и
2
x
−
5
y
−
19
=
0
. Будет ли точка
М
0
с координатами
(
2
,
−
3
)
являться точкой пересечения.
Решение
Чтобы пересечение прямых было действительным, необходимо, чтобы координаты точки
М
0
удовлетворяли уравнениям прямых. Это проверяется при их подстановки. Получаем, что
5
⋅
2
−
2
⋅
(
−
3
)
−
16
=
0
⇔
0
=
0
2
⋅
2
−
5
⋅
(
−
3
)
−
19
=
0
⇔
0
=
0
Оба равенства верные, значит
М
0
(
2
,
−
3
)
является точкой пересечения заданных прямых.