Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же корни, или не имеющие корней. Под одними и теми же корнями понимается следующее: - если какое-то число является корнем одного уравнения, то оно является и корнем любого другого из этих равносильных уравнений, и - ни одно из равносильных уравнений не может иметь корня, который не является корнем любого другого уравнения. 1) Пример: Три уравнения 4·x=8, 2·x=4 и x=2 – равносильные, т. к. каждое из них имеет единственный корень 2, поэтому они равносильны по определению.
2) Пример: равносильными являются два уравнения x·0=0 и 2+x=x+2, множества их решений совпадают: корнем и первого и второго из них является любое число.
3) Пример: Два уравнения x=x+5 и x4=−1 также представляют собой пример равносильных уравнений на множестве действительных чисел, так как они оба не имеют действительных решений.
4) пример: Дано уравнение: x^2 + bx + c = 0 (1) > умножим на 3 => 3x^2 + 3bx + 3c = 0 (2) Уравнения (1) и (2) равносильные.
Под одними и теми же корнями понимается следующее:
- если какое-то число является корнем одного уравнения, то оно является и корнем любого другого из этих равносильных уравнений, и
- ни одно из равносильных уравнений не может иметь корня, который не является корнем любого другого уравнения.
1) Пример:
Три уравнения
4·x=8,
2·x=4 и
x=2
– равносильные, т. к. каждое из них имеет единственный корень 2, поэтому они равносильны по определению.
2) Пример:
равносильными являются два уравнения
x·0=0 и
2+x=x+2,
множества их решений совпадают:
корнем и первого и второго из них является любое число.
3) Пример: Два уравнения
x=x+5 и
x4=−1
также представляют собой пример равносильных уравнений на множестве действительных чисел, так как они оба не имеют действительных решений.
4) пример: Дано уравнение:
x^2 + bx + c = 0 (1) > умножим на 3 =>
3x^2 + 3bx + 3c = 0 (2)
Уравнения (1) и (2) равносильные.
4x+14=26
2x=13-7
x=3
2)4x+6=14
8x+12=28
2x=14-4
2x=10
x=10:2
x=5