Пусть некоторое n-значное число таково, что его учетверённая сумма цифр равна самому числу. Сумма цифр не превосходит 9n, учетверённая сумма цифр не больше 36n, и это число должно быть не меньше, чем 10^(n - 1). Перебором находим, что это не выполнено уже при n = 4 (36 * 4 = 144 < 10^3), при больших n это тем более не выполняется, так как при увеличении n на 1 к 36n прибавляется 36, а к 10^(n - 1) не меньше, чем 9000.
1) n = 1: очевидно, ни одно однозначное число не удовлетворяет условию.
2) n = 2: пусть число равно 10a + b, тогда учетверённая сумма цифр равна 4(a + b) 10a + b = 4(a + b) 10a + b = 4a + 4b 6a = 3b 2a = b Наименьшее двузначное число равно 12, наибольшее 48.
3) n = 3: чтобы учетверённая сумма цифр была не меньше 100, сумма цифр должна быть не меньше 25, тогда само число не меньше 799. Но чтобы учетверённая сумма цифр была не меньше 799, сумма цифр должна быть не меньше 200, чего, конечно, не может быть для трёхзначного числа.
Всего 2018 человек. Если убрать 1, то останется 2017, нечетное число.
Значит, не может остаться поровну рыцарей и лжецов.
Рыцари сказали: Не считая меня, в зале лжецов больше, чем рыцарей.
Это правда. Значит, если убрать 1 рыцаря, то лжецов станет больше.
Лжецы тоже сказали: Не считая меня, в зале лжецов больше, чем рыцарей.
Это ложь. Значит, если убрать 1 лжеца, то рыцарей станет больше.
Все это вместе может означать только одно: Если убрать 1 человека, то останется 1008 одних и 1009 других.
Убрали рыцаря - осталось 1008 рыцарей и 1009 лжецов.
Убрали лжеца - осталось 1008 лжецов и 1009 рыцарей.
Значит, рыцарей и лжецов было поровну - по 1009 каждых.
1) n = 1: очевидно, ни одно однозначное число не удовлетворяет условию.
2) n = 2: пусть число равно 10a + b, тогда учетверённая сумма цифр равна 4(a + b)
10a + b = 4(a + b)
10a + b = 4a + 4b
6a = 3b
2a = b
Наименьшее двузначное число равно 12, наибольшее 48.
3) n = 3: чтобы учетверённая сумма цифр была не меньше 100, сумма цифр должна быть не меньше 25, тогда само число не меньше 799. Но чтобы учетверённая сумма цифр была не меньше 799, сумма цифр должна быть не меньше 200, чего, конечно, не может быть для трёхзначного числа.
ответ: 12 * 48 = 576