Положим что данное выражение равно s(n) , и преобразуем s(n)=2^(2^n)+2^(2^(n-1))+1=(2^(2^(n-1))+1)^2-2^(2^(n-1)) 1) Используя формулу разности квадратов , разложим на множители число s , для определенного n имеем s(n)=(2^(2^(n-1))-2^(2^(n-2))+1)*(2^(2^(n-2))-2^(2^(n-3))+1)*(2^(2^(n-3))-2^(2^(n-4))+1)*...*7 (7-это число s при n=1) 2) докажем что каждые два множителя s (вышеописанные множители) взаимно просты. 3)Для начала возьмём какие-нибудь два числа вида 2^(2^n)+1 и 2^(2^k)+1 , тогда докажем что НОД этих чисел будет равен 1. Без потери общности , положим n>k>0 , то все по той же разности квадратов получим 2^(2^n)+1=(2^(2^(n-1))+1)*(2^(2^(n-2))+1)*(2^(2^(n-3))+1)*...(2^(2^k)+1)*...*5 + 2 То есть это говорит о том что, число 2^(2^(n))+1 при деланий на 2^(2^(k))+1 даёт остаток равный 2 и НОД(2^(2^(k))+1 , 2)=1 так как числа рассматриваемого вида , всегда нечётна . То есть числа взаимно простые. 4)Теперь докажем пункт номер 2. Рассмотрим числа вида X=2^(2^k)-2^(2^(k-1))+1 и Y=2^(2^m)-2^(2^(m-1))+1 Используя формулу (a^2-a+1)(a+1)=a^3+1, заменим (2^(2^(k-1))+1)=u и (2^(2^(m-1))+1)=v получим что X*(2^(2^(k-1))+1)=X*u=2^(3*2^(k-1))+1=A , аналогично Y*(2^(2^(m-1))+1)=Y*v=2^(3*2^(m-1))+1=B Для чисел A и B рассуждая абсолютно аналогично как и в пункте 3 , следует что нод (A,B)=1 то есть они взаимно просты. Стало быть если НОД(X*u,Y*v)=1 и НОД(u,v)=1 значит и НОД(X,Y)=1 тем самым пункт 2 доказан. 5) Если записать упрощенна s(n)=a1*a2*a3*a4***a(n-1)*..*7 из пункта 2 следует (то что любые два числа взаимно просты) , это значит что у s(n) не существует простых делителей вида p^a где p-простое число , "a" целое положительное. В свою очередь это значит что если числа a1,a2,a3 итд являются сами простыми , то у него будет ровно n делителей , если хотя бы какое одно число не простое , то при разложений его , на простые множители , учитывая пункт 2, очевидно что будет больше чем n делителей.
1111 1113 1115 1117 1131 1133 1135 1137 1151 1153 1155 1157 1171 1173 1175 1177 1311 1313 1315 1317 1331 1333 1335 1337 1351 1353 1355 1357 1371 1373 1375 1377 1511 1513 1515 1517 1531 1533 1535 1537 1551 1553 1555 1557 1571 1573 1575 1577 1711 1713 1715 1717 1731 1733 1735 1737 1751 1753 1755 1757 1771 1773 1775 1777 и того с 1 можно составить 60 чисел всего цифр 4 значит 60 * 4 = 240 ответ всего 240 а если без повторяющихся цифр то всего чисел будет меньше итак считаем 1357 1375 1537 1573 1735 1753 то есть с 1 можно составить 6 чисел а всего цифр 4 поэтому 6 *4 =24 ответ : 24 ( не повторяющиеся числа)
1113
1115
1117
1131
1133
1135
1137
1151
1153
1155
1157
1171
1173
1175
1177
1311
1313
1315
1317
1331
1333
1335
1337
1351
1353
1355
1357
1371
1373
1375
1377
1511
1513
1515
1517
1531
1533
1535
1537
1551
1553
1555
1557
1571
1573
1575
1577
1711
1713
1715
1717
1731
1733
1735
1737
1751
1753
1755
1757
1771
1773
1775
1777
и того с 1 можно составить 60 чисел
всего цифр 4 значит 60 * 4 = 240
ответ всего 240
а если без повторяющихся цифр то всего чисел будет меньше
итак считаем
1357
1375
1537
1573
1735
1753
то есть с 1 можно составить 6 чисел а всего цифр 4 поэтому 6 *4 =24 ответ : 24 ( не повторяющиеся числа)