A4. На каком из следующих рисунков изображен график функции, возрастающий на промежутке ?
1.2.3.4.
Решение. Функция возрастает на промежутке, если для любых двух значении аргумента из этого промежутка большему из них соответствует большее значение функции. Правильный ответ: 4.
A5. Найдите множество значений функции .
1.2.3.4.
Решение. Так как , имеем:
.
Правильный ответ: 2.
A6. Найдите область определения функции .
1.2.3.4.
Решение. Область определения данной функции задается системой Имеем:
С2. Найдите все значения , при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций и меньше, чем 0,25. Решение. Искомое множество совпадает с множеством решений неравенства . Решим это неравенство:
.
ответ: .
С3. Требуется разметить на земле участок площадью 2000 м2, состоящий из трех прямоугольных частей и имеющий форму, изображенную на рисунке, где , и . Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин , и , при которых периметр является наименьшим. Решение. Обозначим через , и соответственно длины отрезков , и площадь участка . Тогда периметр данного участка выражается формулой . О ценим площадь прямоугольника :
.
Значит, , откуда, учитывая , получаем . Следовательно, . Найдем наименьшее значение функции на промежутке . (Учитывая условие, можно более точно указать интересующий нас промежуток: .) На основании теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух неотрицательных чисел получаем . При этом равенство достигается, тогда и только тогда, когда , откуда, учитывая , получаем . (Исследование функции можно было также провести с производной.) Таким образом, – наименьшее значение функции на промежутке , и достигается оно при . При этом . ответ: 200 м, 50 м, 50 м, 15 м.
C4. В пирамиде грани и перпендикулярны, . Тангенс угла между прямой и плоскостью равен . Точка выбрана на ребре так, что . Точка лежит на прямой и равноудалена от точек и . Центр сферы, описанной около пирамиды , лежит на ребре , площадь этой сферы равна . Найдите объем пирамиды . Решение. Опустим перпендикуляры и из точек и соответственно на плоскости и и перпендикуляр из точки на прямую , а также построим отрезки и (см. рис). Поскольку плоскости и перпендикулярны, точки и лежат на их линии пересечения – прямой и отрезки и перпендикулярны . Кроме того, на основании теоремы о трех перпендикулярах, , так как – проекция на плоскость . Отрезки и – проекции равных наклонных и на плоскость , следовательно, . Таким образом, отрезок является высотой равнобедренного треугольника , а, следовательно, является и его медианой, откуда . Центр сферы, описанной около пирамиды , лежит на ребре , следовательно, – диаметр этой сферы. Так как любое сечение сферы плоскостью есть окружность, углы и – вписанные углы, опирающиеся на диаметр , следовательно, и . Так как – проекция на плоскость , угол является углом между прямой и плоскостью . Далее имеем: 1) По условию, площадь сферы, описанной около пирамиды , равна , откуда , , . 2) Прямые и параллельны, так как они лежат в одной плоскости и перпендикулярны одной прямой , следовательно, , откуда , , а, значит, . 3) В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен , следовательно, . Тогда , , , . 4) Треугольники и имеют общую высоту, проведенную из вершены , следовательно, отношение их площадей равно отношению оснований и , откуда получаем , . 5) Прямоугольные треугольники и подобны, так как имеют общий острый угол , следовательно, , откуда . Окончательно имеем
.
ответ: .
C5. Найдите все значения , при каждом из которых оба числа и являются решениями неравенства . Решение. Пусть . Тогда
.
Решим теперь неравенство . 1) Если , то данное неравенство равносильно системе неравенств Решая эту систему, последовательно получаем:
.
Таким образом, все числа промежутка являются решениями данного неравенства. 2) Если , то данное неравенство равносильно неравенству , решая которое, получаем:
Часть A
A1. Упростите выражение .
1.2.3.4.Решение. Поскольку , получаем:
.Правильный ответ: 2.
A2. Найдите значение выражения .
1.2.3.4.Решение. Так как и при имеем:
.Правильный ответ: 3.
A3. Вычислите .
1.2.3.4.Решение. Используя формулы и (), получаем:
.Правильный ответ: 1.
A4. На каком из следующих рисунков изображен график функции, возрастающий на промежутке ?
1.2.3.4.Решение. Функция возрастает на промежутке, если для любых двух значении аргумента из этого промежутка большему из них соответствует большее значение функции.
Правильный ответ: 4.
A5. Найдите множество значений функции .
1.2.3.4.Решение. Так как , имеем:
.Правильный ответ: 2.
A6. Найдите область определения функции .
1.2.3.4.Решение. Область определения данной функции задается системой
Имеем:
С2. Найдите все значения , при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций и меньше, чем 0,25.
Решение. Искомое множество совпадает с множеством решений неравенства .
Решим это неравенство:
.
ответ: .
С3. Требуется разметить на земле участок площадью 2000 м2, состоящий из трех прямоугольных частей и имеющий форму, изображенную на рисунке, где , и . Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин , и , при которых периметр является наименьшим.
.Решение. Обозначим через , и соответственно длины отрезков , и площадь участка . Тогда периметр данного участка выражается формулой .
О ценим площадь прямоугольника :
Значит, , откуда, учитывая , получаем . Следовательно, .
Найдем наименьшее значение функции на промежутке . (Учитывая условие, можно более точно указать интересующий нас промежуток: .)
На основании теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух неотрицательных чисел получаем . При этом равенство достигается, тогда и только тогда, когда , откуда, учитывая , получаем . (Исследование функции можно было также провести с производной.)
Таким образом, – наименьшее значение функции на промежутке , и достигается оно при . При этом .
ответ: 200 м, 50 м, 50 м, 15 м.
C4. В пирамиде грани и перпендикулярны, . Тангенс угла между прямой и плоскостью равен . Точка выбрана на ребре так, что . Точка лежит на прямой и равноудалена от точек и . Центр сферы, описанной около пирамиды , лежит на ребре , площадь этой сферы равна . Найдите объем пирамиды .
.Решение. Опустим перпендикуляры и из точек и соответственно на плоскости и и перпендикуляр из точки на прямую , а также построим отрезки и (см. рис).
Поскольку плоскости и перпендикулярны, точки и лежат на их линии пересечения – прямой и отрезки и перпендикулярны . Кроме того, на основании теоремы о трех перпендикулярах, , так как – проекция на плоскость .
Отрезки и – проекции равных наклонных и на плоскость , следовательно, . Таким образом, отрезок является высотой равнобедренного треугольника , а, следовательно, является и его медианой, откуда .
Центр сферы, описанной около пирамиды , лежит на ребре , следовательно, – диаметр этой сферы. Так как любое сечение сферы плоскостью есть окружность, углы и – вписанные углы, опирающиеся на диаметр , следовательно, и .
Так как – проекция на плоскость , угол является углом между прямой и плоскостью .
Далее имеем:
1) По условию, площадь сферы, описанной около пирамиды , равна , откуда , , .
2) Прямые и параллельны, так как они лежат в одной плоскости и перпендикулярны одной прямой , следовательно, , откуда , , а, значит, .
3) В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен , следовательно, . Тогда , , , .
4) Треугольники и имеют общую высоту, проведенную из вершены , следовательно, отношение их площадей равно отношению оснований и , откуда получаем , .
5) Прямоугольные треугольники и подобны, так как имеют общий острый угол , следовательно, , откуда .
Окончательно имеем
ответ: .
C5. Найдите все значения , при каждом из которых оба числа и являются решениями неравенства .
Решение. Пусть . Тогда
.
Решим теперь неравенство .
1) Если , то данное неравенство равносильно системе неравенств
Решая эту систему, последовательно получаем:
.
Таким образом, все числа промежутка являются решениями данного неравенства.
.2) Если , то данное неравенство равносильно неравенству , решая которое, получаем: