Добрый день! Рад принять роль учителя и помочь вам понять и решить данные задачи.
Давайте начнем с первой задачи.
Необходимо найти значение выражения 8√2(cos2x-sin2x) при x=π/8.
Для начала заменим значение x в выражении, чтобы получить конкретное численное значение:
8√2(cos(2 * (π/8))-sin(2 * (π/8)))
Далее, посчитаем значение выражения в скобках: cos(2 * (π/8)) и sin(2 * (π/8)).
cos(2 * (π/8)):
Сначала посчитаем значение 2 * (π/8). У нас получится π/4.
Теперь найдем значение cos(π/4). Это значение, которое можно запомнить, потому что оно широко используется. Значение cos(π/4) равно √2/2.
sin(2 * (π/8)):
Сначала посчитаем значение 2 * (π/8). У нас получится π/4.
Теперь найдем значение sin(π/4). Это значение также можно запомнить, потому что оно широко используется. Значение sin(π/4) равно √2/2.
Теперь подставим найденные значения обратно в начальное выражение:
8√2((√2/2)^2 - (√2/2)^2)
Сокращаем выражение в скобках:
8√2(2/4 - 2/4)
8√2(0)
Умножение на 0 даёт 0, поэтому ответом будет 0.
Теперь перейдем ко второй задаче.
Необходимо вычислить значение выражения 13cos(π/2-α), если cosα=12/13, α∈(-π/2; 0).
Для начала воспользуемся формулой косинуса разности двух углов:
cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ.
В нашем случае у нас есть угол π/2-α. Подставляем значения в формулу:
cos(π/2-α) = cos(π/2)cos(α) + sin(π/2)sin(α).
Так как cos(π/2) = 0 и sin(π/2)=1, получаем:
cos(π/2-α) = 0*cos(α) + 1*sin(α).
cos(π/2-α) = sin(α).
Таким образом, значение выражения 13cos(π/2-α) равно 13*sin(α).
Поскольку у нас дано значение cosα=12/13, мы можем использовать тригонометрическое соотношение между синусом и косинусом:
Давайте начнем с первой задачи.
Необходимо найти значение выражения 8√2(cos2x-sin2x) при x=π/8.
Для начала заменим значение x в выражении, чтобы получить конкретное численное значение:
8√2(cos(2 * (π/8))-sin(2 * (π/8)))
Далее, посчитаем значение выражения в скобках: cos(2 * (π/8)) и sin(2 * (π/8)).
cos(2 * (π/8)):
Сначала посчитаем значение 2 * (π/8). У нас получится π/4.
Теперь найдем значение cos(π/4). Это значение, которое можно запомнить, потому что оно широко используется. Значение cos(π/4) равно √2/2.
sin(2 * (π/8)):
Сначала посчитаем значение 2 * (π/8). У нас получится π/4.
Теперь найдем значение sin(π/4). Это значение также можно запомнить, потому что оно широко используется. Значение sin(π/4) равно √2/2.
Теперь подставим найденные значения обратно в начальное выражение:
8√2((√2/2)^2 - (√2/2)^2)
Сокращаем выражение в скобках:
8√2(2/4 - 2/4)
8√2(0)
Умножение на 0 даёт 0, поэтому ответом будет 0.
Теперь перейдем ко второй задаче.
Необходимо вычислить значение выражения 13cos(π/2-α), если cosα=12/13, α∈(-π/2; 0).
Для начала воспользуемся формулой косинуса разности двух углов:
cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ.
В нашем случае у нас есть угол π/2-α. Подставляем значения в формулу:
cos(π/2-α) = cos(π/2)cos(α) + sin(π/2)sin(α).
Так как cos(π/2) = 0 и sin(π/2)=1, получаем:
cos(π/2-α) = 0*cos(α) + 1*sin(α).
cos(π/2-α) = sin(α).
Таким образом, значение выражения 13cos(π/2-α) равно 13*sin(α).
Поскольку у нас дано значение cosα=12/13, мы можем использовать тригонометрическое соотношение между синусом и косинусом:
sin^2(α) + cos^2(α) = 1.
Подставим значение cosα=12/13 и решим уравнение:
sin^2(α) + (12/13)^2 = 1
sin^2(α) + 144/169 = 1
sin^2(α) = 1 - 144/169
sin^2(α) = 169 - 144/169
sin^2(α) = 25/169
Так как sinα > 0, мы можем извлечь квадратный корень из обеих сторон уравнения:
sinα = √(25/169) = 5/13.
Теперь подставляем значение sinα=5/13 обратно в исходное выражение:
13*sin(α) = 13*(5/13) = 5.
Таким образом, значение выражения 13cos(π/2-α) при cosα=12/13, α∈(-π/2; 0) равно 5.
Надеюсь, мои пояснения были понятны и помогли вам. Если остались вопросы, не стесняйтесь задавать!