Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти частное решение(частный интеграл) д.у. (2x+y)dy=ydx+4lnydy, y(0)=1 (ответ вас от чистого серда ответить быстро и развернуто. Заранее благодарю.

Показать ответ

Ответ:

are0t

23.08.2020 16:27

$(2x+y-4\ln y)dy-ydx=0$

Уравнение M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 есть уравнением в полных дифференциалах тогда, когда выполнено равенство M'_y(x;y)=N'(x;y) . Данное уравнение имеет интегрирующий множитель $\mu (y)$ ,т.е.

$\mu (y)M(x;y)+\mu (y)N(x;y)y'=0\\ -y\cdot \dfrac{\mu(y)}{dy}-\mu(y)=2\mu(y)\\ \\ \mu (y)=\displaystyle \int -\dfrac{3}{y}dy=\dfrac{1}{y^3}$

Умножив обе части уравнения на интегрирующий множитель, получим, что данное диф. уравнение будет в полных дифференциалах. Легко проверить: $M'_y(x;y)=\dfrac{2}{y^3}=N'_x(x;y)$

Если функция F(x;y) удовлетворяет F'_x(x;y)=M(x;y) и F'_y(x;y)=N(x;y) , то решение F(x;y)=C , где $C\in \mathbb{R}$ .

Интегрируя функцию F по х, получим

$F(x;y)=\displaystyle \int M(x;y)dx=\int -\dfrac{dx}{y^2}=-\dfrac{x}{y^2}+C(y)$

Дифференцируя по у, получим $F'_y(x;y)=\dfrac{2x}{y^3}+C'(y)$

Мы имеем $F'_y(x;y)=N(x;y)=-\dfrac{4\ln y-y-2x}{y^3}$ отсюда $C'(y)=-\dfrac{4\ln y-y}{y^3}$ получаем $C(y)=\displaystyle \int \left(-\dfrac{4\ln y-y}{y^3}\right)dy=-4\cdot \left(-\dfrac{\ln y}{2y^2}-\dfrac{1}{4y^2}\right)-\dfrac{1}{y}$

Общий интеграл: $-4\cdot \left(-\dfrac{\ln y}{2y^2}-\dfrac{1}{4y^2}\right)-\dfrac{1}{y}-\dfrac{x}{y^2}=C$

Подставив начальные условия, мы получим

-1 - 1 = C

C = -2

$\boxed{-4\cdot \left(-\dfrac{\ln y}{2y^2}-\dfrac{1}{4y^2}\right)-\dfrac{1}{y}-\dfrac{x}{y^2}=-2~~~\Rightarrow~~~ x=2\ln y+1-y}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Hi1666888888

25.07.2021 10:59

Решите тригонометрическое уравнение 2sin(2x+3)=-10...

Sonechka20052005

25.07.2021 10:59

Основы типов измерения температуры а) при контакте с телом, предмет измерения удерживает равновесие в) при контакте тела с предметом измерения, температура меняется с) при...

darkbluefox

14.08.2021 20:35

Кубик сахара весит 7 г. для семьи из 5 человек купили 2 кг сахара. за сколько дней будет истрачен купленный сахар, если тратить по 5 кубиков в день на одного члена семьи?...

alexutkin22241

14.08.2021 20:35

Цена 6 нотных тетрадей такая же, как и у 9 блокнотов. какова стоимость одного блокнота, если за 2 ночные тетради нужно заплатить 1800 руб?...

kgatikha1

14.08.2021 20:35

Все грани тетраэдра подобные между собой прямоугольные треугольники. найдите отношение наибольшего и наименьшего ребер этого тетраэдра....

1saridua1

14.08.2021 20:35

Найдите наименьшее значение функции y=7x-ln(x+4)^7 на отрезке (-3,5; 0)...

mariyakohtuk

14.08.2021 20:35

Найдите нок (n^2+n, n^2+3n), если нод(8n^2+6n, 8n^2+10n)=20 с обьяснением...

julia4171822

14.08.2021 20:35

Задайте с характеристических свойств следу- ющие множества: a = {январь, февраль,март}; b = {декабрь, январь, февраль}; c = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}; d = {–8,...

AndreyVisaGold

14.08.2021 20:35

Одна трубу запоннеет бак в течение 6 часов, другие труба в течение 8 часов. за сколько часов заполнить бак если будет работать оба трубу?...

tat2119

04.05.2021 10:05

Каким документом регламентируются требования к оборудованию и помещениям для организации основных видах деятельности: а) уставом организации б) фз об образовании в рф в)...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку