Нормальный вектор этой плоскости равен (1; -1; -4) и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.
Получаем уравнение перпендикуляра из точки Р(3; -4; 6).
((x – 3)/1) = (y + 4)/(-1) = ((z – 6)/(-4).
Координаты, которые имеет точка пересечения x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:
{((x – 3)/1) = (y + 4)/(-1) = ((z – 6)/(-4).
{x - y - 4z - 13 = 0.
Из уравнения прямой получаем зависимость переменных.
-x + 3 = y + 4, отсюда y = -x – 1.
-4x + 12 = z – 6, отсюда z = -4x + 18.
Подставим их в уравнение плоскости.
x – (-x – 1) – 4(-4x + 18) - 13 = 0,
x + x + 1 + 16x – 72 – 13 = 0,
18x = 84,
x = 84/18 = 14/3,
y = (-14/3) – 1 = -17/3,
z = -4*(14/3) + 18 = -2/3.
Найдена точка E пересечения перпендикуляра из точки Р к плоскости.
Теперь можно определить точку Q, симметричную точке Р относительно точки Е в заданной плоскости по формуле симметрии.
Найти координаты точки Q, симметричной точке P(3; -4; 6) относительно плоскости, проходящей через точки M1(-6; 1; -5), M2(7; -2; -1), M3(10;-7;1).
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - (-6) y – 1 z - (-5)
7 - (-6) (-2) – 1 (-1) - (-5)
10 - (-6) (-7) – 1 1 - (-5) = 0
x - (-6) y – 1 z - (-5)
13 -3 4
16 -8 6 = 0
(x - (-6))(-3·6-4·(-8) – (y – 1)(13·6-4·16) + (z - (-5))(13·(-8)-(-3)·16) = 0
14(x - (-6)) + (-14)(y – 1) + (-56)(z - (-5)) = 0
14x - 14y - 56z - 182 = 0
x - y - 4z - 13 = 0.
Нормальный вектор этой плоскости равен (1; -1; -4) и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.
Получаем уравнение перпендикуляра из точки Р(3; -4; 6).
((x – 3)/1) = (y + 4)/(-1) = ((z – 6)/(-4).
Координаты, которые имеет точка пересечения x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:
{((x – 3)/1) = (y + 4)/(-1) = ((z – 6)/(-4).
{x - y - 4z - 13 = 0.
Из уравнения прямой получаем зависимость переменных.
-x + 3 = y + 4, отсюда y = -x – 1.
-4x + 12 = z – 6, отсюда z = -4x + 18.
Подставим их в уравнение плоскости.
x – (-x – 1) – 4(-4x + 18) - 13 = 0,
x + x + 1 + 16x – 72 – 13 = 0,
18x = 84,
x = 84/18 = 14/3,
y = (-14/3) – 1 = -17/3,
z = -4*(14/3) + 18 = -2/3.
Найдена точка E пересечения перпендикуляра из точки Р к плоскости.
Теперь можно определить точку Q, симметричную точке Р относительно точки Е в заданной плоскости по формуле симметрии.
x(Q) = 2*x(E) – x(P) = 2*(14/3) – 3 = 19/3.
y(Q) = 2*y(E) – y(P) = 2*(-17/3) – (-4) = -22/3.
z(Q) = 2*z(E) – z(P) = 2*(-2/3) – 6 = -22/3.
ответ: точка Q((19/3); (-22/3); (-22/3)).