Сложные проценты — это метод расчета процентов, когда проценты прибыли прибавляют к сумме на остатке каждый месяц. В следующий раз проценты начисляют на эту новую сумму.
Формула расчета выглядит так:
S = а * ((1 + х)/100)y,
где S — наращиваемая сумма,
a — исходная,
x — процентная ставка,
y — количество периодов начисления процента.
Задача. Папа взял в банке кредит 25000 рублей на 3 месяца под 15%. Нам нужно узнать, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.
Как решаем: просто подставим в формулу данные из условий задачи:
Пусть всего детей было n, и у родителей по одному ребенку.
Событие A="Хотя бы один ребенок получит подарок от своих родителей" противоположно событию B="Ни один ребенок не получит подарок от своих родителей". Значит, искомая вероятность .
Найдем количество вариантов раздачи подарков, при которых каждый ребенок получит подарок от чужих родителей.
Рассмотрим таблицу (см. приложение). Столбец соответствует родителям, строка - детям, выбор ячейки на пересечении i-ой строки и j-ого столбца означает, что i-ый ребенок получил подарок от j-ых родителей [ячейки диагонали не рассматриваются, т.к. получение подарка от своих же родителей - неподходящая ситуация]. Требуется выбрать n ячеек такой таблицы так, чтобы в каждом столбце и строке была выбрана ровно одна ячейка [каждый ребенок получил подарок не от своих родителей, и каждый родитель вручил подарок не своему ребенку].
А это известная задача о расстановке ладей, не бьющих друг друга и не находящихся на одной из диагоналей, для которой было получено явное выражение числа вариантов [подробнее, например, Окунев Л. Я. Комбинаторные задачи на шахматной доске. — 1935 , с .8-14]
Сложные проценты — это метод расчета процентов, когда проценты прибыли прибавляют к сумме на остатке каждый месяц. В следующий раз проценты начисляют на эту новую сумму.
Формула расчета выглядит так:
S = а * ((1 + х)/100)y,
где S — наращиваемая сумма,
a — исходная,
x — процентная ставка,
y — количество периодов начисления процента.
Задача. Папа взял в банке кредит 25000 рублей на 3 месяца под 15%. Нам нужно узнать, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.
Как решаем: просто подставим в формулу данные из условий задачи:
25000 * (1 + 15/100)3 = 38021,875 — искомая сумма.
Пошаговое объяснение:
Пусть всего детей было n, и у родителей по одному ребенку.
Событие A="Хотя бы один ребенок получит подарок от своих родителей" противоположно событию B="Ни один ребенок не получит подарок от своих родителей". Значит, искомая вероятность
.
Найдем количество вариантов раздачи подарков, при которых каждый ребенок получит подарок от чужих родителей.
Рассмотрим таблицу
(см. приложение). Столбец соответствует родителям, строка - детям, выбор ячейки на пересечении i-ой строки и j-ого столбца означает, что i-ый ребенок получил подарок от j-ых родителей [ячейки диагонали не рассматриваются, т.к. получение подарка от своих же родителей - неподходящая ситуация]. Требуется выбрать n ячеек такой таблицы так, чтобы в каждом столбце и строке была выбрана ровно одна ячейка [каждый ребенок получил подарок не от своих родителей, и каждый родитель вручил подарок не своему ребенку].
А это известная задача о расстановке ладей, не бьющих друг друга и не находящихся на одной из диагоналей, для которой было получено явное выражение числа вариантов [подробнее, например, Окунев Л. Я. Комбинаторные задачи на шахматной доске. — 1935 , с .8-14]
Всего вариантов раздачи подарков
.
Но тогда
.
Отсюда![P(A)=1-\sum\limits_{k=2}^n \dfrac{(-1)^k}{k!}=1-\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k}{k!}](/tpl/images/2009/9977/55e19.png)
________________________
Теперь рассмотрим ситуацию при![n\to\infty](/tpl/images/2009/9977/21878.png)
Используя разложение
, получим при
равенство
Значит,![\lim\limits_{n\to\infty}P(A)=1-\dfrac{1}{e}](/tpl/images/2009/9977/bf2a7.png)