1) Тело движется по прямой так что расстояние S от начальной точки изменяется no закону S = 3t + t² (м), где t - время движения в секундах. Найдите скорость тела через 3 с после начала движения.
Решение: Найдем функцию скорости как производную от функции расстояния по времени:
Найдем значение скорости через 3 с после начала движения V = 3 + 3² = 3 + 9 = 12 м/с
ответ: 12 м/с
2) Найти точки экстремума функции f(x) = 3 + 7x - 4х²
Найдем критические точки f'(x)=0 ⇔ 7-8x=0 8x=7 x=0,875 На числовой прямой отобразим эту точку и знаки производной полученные по методу подстановки. Например при х=0 f'(0)=7>0 + 0 - ---------!------------- 0,875 Функция возрастает на промежутке (-∞;0,875) так как производная на этом интервале числовой прямой больше нуля
Функция убывает на промежутке (0,875;+∞) так как производная на этом интервале числовой прямой меньше нуля
В точке х=0,875 функция имеет локальный максимум. у(0,875) =3+7*0,875+4*(0,875)² = 12,1875
ответ: х=0,875; y=12,1875 - максимум
3) Тело движется по прямой так, что расстояние S ( в метрах) от него до точки В этой прямой изменяется по закону S(t) = 2t³ - 6t² + 6 (t - время движения в секундах). Чему будет равно ускорение, через 2 секунды движения?
Решение: Найдем функцию скорости как производную функции расстояния
Найдем функцию ускорения как производную скорости по времени
a(t) = V'(t) = (6t² - 12t)' = (6t²)' - (12t)' = 6*2t -12 =12t - 12 (м/с²) Найдем ускорение тела через 2 секунды после начала движения
а(2) =12*2-12=12 м/с²
ответ 12 м/с²
4) Дана функция f(x) = 2x² - х + 1. Найти координаты точки ее графика, в котором угловой коэффициент касательной к нему равен 7.
Решение: Угловой коэффициент касательной функции в точке равен производной функции в этой точке Найдем производную функции
f'(x) = (2x² - х + 1)' = 4x-1 Поскольку угловой коэффициент касательной равен 7 то можно записать, что 4х - 1 = 7 4х = 8 х = 2 f(2) = 2*2² -2+1 = 8 - 1 =7
ответ: х=2; у=7
5) Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба f(x) = 2х³+ 9x² - 24x. Решение: Найдем первую производную функции f'(x) = (2х³ + 9x² - 24x)' =2*3x²+9*2x-24 = 6x² + 18x - 24 Найдем вторую производную функции f"(x) = (6x² + 18x - 24)' = 6*2x + 18 - 0 =12x+18 Найдем критические точки f"(x)=0 ⇔ 12x+18 =0 12x = -18 x=-1,5
На числовой прямой отобразим эту точку и знаки второй производной - 0 + ---------------!---------------- -1,5 Функция вогнута вниз на интервале х∈(-1,5;+∞) так как вторая производная больше нуля
Функция выпукла вверх на интервале х∈(-∞;-1,5) так как вторая производная меньше нуля
В точке х=-1,5 функция имеет точку перегиба y(-1,5) = 2(-1,5)³+ 9(-1,5)² - 24(-1,5) = 49,5
ответ: вогнута вниз на интервале х∈(-1,5;+∞) ; выпукла вверх на интервале х∈(-∞;-1,5);х=-1,5 y=49,5 точка перегиба
Найдите скорость тела через 3 с после начала движения.
Решение:
Найдем функцию скорости как производную от функции расстояния по времени:
Найдем значение скорости через 3 с после начала движения
V = 3 + 3² = 3 + 9 = 12 м/с
ответ: 12 м/с
2) Найти точки экстремума функции f(x) = 3 + 7x - 4х²
Решение:
Найдем производную функции
f'(x) = (3 + 7x - 4х²)' = (3)' + (7x)' - (4х²)' = 0 + 7 - 4*2x = 7- 8x
Найдем критические точки
f'(x)=0 ⇔ 7-8x=0
8x=7
x=0,875
На числовой прямой отобразим эту точку и знаки производной полученные по методу подстановки. Например при х=0 f'(0)=7>0
+ 0 -
---------!-------------
0,875
Функция возрастает на промежутке (-∞;0,875) так как производная на этом интервале числовой прямой больше нуля
Функция убывает на промежутке (0,875;+∞) так как производная на этом интервале числовой прямой меньше нуля
В точке х=0,875 функция имеет локальный максимум.
у(0,875) =3+7*0,875+4*(0,875)² = 12,1875
ответ: х=0,875; y=12,1875 - максимум
3) Тело движется по прямой так, что расстояние S ( в метрах) от него до
точки В этой прямой изменяется по закону S(t) = 2t³ - 6t² + 6 (t - время
движения в секундах). Чему будет равно ускорение, через 2 секунды
движения?
Решение:
Найдем функцию скорости как производную функции расстояния
V(t) =S'(t) = (2t³ - 6t² + 6)' = (2t³)' - (6t²)' + (6)' =2*3t² -6*2t +0 = 6t² -12t (м/с)
Найдем функцию ускорения как производную скорости по времени
a(t) = V'(t) = (6t² - 12t)' = (6t²)' - (12t)' = 6*2t -12 =12t - 12 (м/с²)
Найдем ускорение тела через 2 секунды после начала движения
а(2) =12*2-12=12 м/с²
ответ 12 м/с²
4) Дана функция f(x) = 2x² - х + 1. Найти координаты точки ее графика, в котором угловой коэффициент касательной к нему равен 7.
Решение:
Угловой коэффициент касательной функции в точке равен производной функции в этой точке
Найдем производную функции
f'(x) = (2x² - х + 1)' = 4x-1
Поскольку угловой коэффициент касательной равен 7 то можно записать, что
4х - 1 = 7
4х = 8
х = 2
f(2) = 2*2² -2+1 = 8 - 1 =7
ответ: х=2; у=7
5) Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба f(x) = 2х³+ 9x² - 24x.
Решение:
Найдем первую производную функции
f'(x) = (2х³ + 9x² - 24x)' =2*3x²+9*2x-24 = 6x² + 18x - 24
Найдем вторую производную функции
f"(x) = (6x² + 18x - 24)' = 6*2x + 18 - 0 =12x+18
Найдем критические точки
f"(x)=0 ⇔ 12x+18 =0
12x = -18
x=-1,5
На числовой прямой отобразим эту точку и знаки второй производной
- 0 +
---------------!----------------
-1,5
Функция вогнута вниз на интервале х∈(-1,5;+∞) так как вторая производная больше нуля
Функция выпукла вверх на интервале х∈(-∞;-1,5) так как вторая производная меньше нуля
В точке х=-1,5 функция имеет точку перегиба
y(-1,5) = 2(-1,5)³+ 9(-1,5)² - 24(-1,5) = 49,5
ответ: вогнута вниз на интервале х∈(-1,5;+∞) ; выпукла вверх на интервале х∈(-∞;-1,5);х=-1,5 y=49,5 точка перегиба