несколько гангстеров сидят за круглым столом и делят награбленное, причём доля каждого составляет ровно половину от суммы долей его соседей справа и слева. докажите, что всем денег достанется поровну.
Допустим противное и предположим, что не все гангстеры имеют равные доли награбленного. Пусть за столом сидят n гангстеров. Обозначим их доли награбленного соответственно через x₁, x₂,xₙ и рассадим гангстеров в таком порядке за столом. Тогда найдется минимум один гангстер с наименьшей из всех долей награбленного. Пусть это для определенности гангстер с долей x₁ = x. Так как стол круглый, его соседями справа и слева будут гангстеры x₂ и xₙ соответственно. Тогда по условию x₁ = (x₂ + xₙ)/2 => 2x₁ = x₂ + xₙ, но так как x₁ < x₂ и x₁ < xₙ, равенство возможно только если x₁ = x₂ = xₙ = x. Аналогично для гангстера с долей x₂ имеем x₂ = x₁ = x = (x₁ + x₃)/2 => 2x₁ = x₁ + x₃ => x₁ = x₃ = x. Продолжая эту процедуру доходим до последнего гангстера с долей xₙ, которая тоже оказывается равной x. Таким образом наше изначальное предположение неверно и все гангстеры имеют одинаковый доли x награбленного.
Допустим противное и предположим, что не все гангстеры имеют равные доли награбленного. Пусть за столом сидят n гангстеров. Обозначим их доли награбленного соответственно через x₁, x₂,xₙ и рассадим гангстеров в таком порядке за столом. Тогда найдется минимум один гангстер с наименьшей из всех долей награбленного. Пусть это для определенности гангстер с долей x₁ = x. Так как стол круглый, его соседями справа и слева будут гангстеры x₂ и xₙ соответственно. Тогда по условию x₁ = (x₂ + xₙ)/2 => 2x₁ = x₂ + xₙ, но так как x₁ < x₂ и x₁ < xₙ, равенство возможно только если x₁ = x₂ = xₙ = x. Аналогично для гангстера с долей x₂ имеем x₂ = x₁ = x = (x₁ + x₃)/2 => 2x₁ = x₁ + x₃ => x₁ = x₃ = x. Продолжая эту процедуру доходим до последнего гангстера с долей xₙ, которая тоже оказывается равной x. Таким образом наше изначальное предположение неверно и все гангстеры имеют одинаковый доли x награбленного.