Нолден баска ар турли уш цифр ал. олардан ар турли уш алты сан курастыр. 100 шыгу ушин олардын косындысынан кандай санды азайту керек?

1) 2arcsin(-1)-4arcctg(-1) = -2π/2-4(π - arcctg1) = -π - 4(π - π/4) = -π - 4(3π/4) = -π - 3π = -4π.

2) ctgx>-1;  πn < x < 3π/4 + πn, n∈Z.

3) 5cos^2x-6cosx=0; cosx(5cosx-6)=0;

cosx = 0                   або            5cosx-6 = 0.

x = π/2 + πn, n∈Z.                      cosx = 1,2 - немає розв'язків.

Відповідь: π/2 + πn, n∈Z.

4) tg(arcsin1/2+arccos0) = -√3.

tg(arcsin1/2+arccos0) = tg(π/6+π/2) = -сtg(π/6) = -√3, що й треба було довести.

5) sinx+sin3x/cosx=0. ОДЗ: cosx ≠ 0.

sinx+sin3x = 0; 2sin2xcosx = 0;

sinx = 0 або cosx = 0 - не задовольняє ОДЗ.

x = πn, n∈Z.

6) tg(4x+π/4)+1 ≤ 0;  tg(4x+π/4) ≤ -1; -π/2 + πn ≤ 4x+π/4 ≤ -π/4 + πn;

-π/2- π/4  + πn ≤ 4x ≤ -π/4 - π/4  + πn, n∈Z; -3π/4  + πn ≤ 4x ≤ -π/2 + πn, n∈Z;

-3π/8  + πn/4 ≤ x ≤ -π/8 + πn/4, n∈Z.

7) Розв'язати систему рівнянь: Додамо перше і друге рівняння системи: k∈Z.

Віднімемо друге і перше рівняння системи:

±∈Z.

Відповідь: k∈Z; ±∈Z.

1) f(x)=2x³+9x²-24x+1   [-2;-1]

f'(x)=(2x³+9x²+24x+1)'=6x²+18x-24=0

6x²+18x-24=0  |÷6

x²+3x-4=0  D=25  

x₁=-4 ∉  [-2;-1]      

x₂=1 ∉  [-2;-1]   ⇒

f(-2)=2*(-2)³+9*(-2)²-24*(-2)+1=-16+36+48+1=69 - max.

f(-1)=2*(-1)³+9*(-1)²-24*(-1)+1=-2+9+24+1=32 - min.

2)

a+b=12

a³*2*b - max      a=?    b=?

b=12-a    ⇒

(a³*2*(12-a))'=0

(a³*(24-2a))'=0

3a²*(24-2a)+a³*(-2)=0

a²(3*24-6a-2a)=0

a₁²=0      

a₁=0      0+b=12      b₁=12

72-8a=0

8a=72  |÷8

a₂=9       9+b=12     b₂=3     ⇒

a₁=0      b₁=12

0³*2*12=0

a₂=9      b₂=3

9³*2*3=729*6=4374 - max.

ответ: a=9    b=3.

3) f(x)=x/3+√x        x₀=1

yk=y₀+y'(x₀)*(x-x₀)

y₀=(1/3)+√1=1¹/₃=4/3.

y'=(1/3)+1/(2*√x)

y'(1)=(1/3)+1/(2*√1)=(1/3)+(1/2)=5/6.    ⇒

yk=(4/3)+(5/6)*(x-1)=(8+5*(x-1))/6=(8+5x-5)/6=(5x+3)/6=(1/2)+5x/6.

ответ: yk=(1/2)+5x/6.