Нужен ответ с об'яснением​

по формуле косинуса разности имеем

cos(x-y) ≡ cos(x)·cos(y) + sin(x)·sin(y)

поэтому

cos(x)·cos(2x) + sin(x)·sin(2x) ≡ cos(2x - x) ≡ cos(x),

Поэтому исходное уравнение равносильно

2·cos(x) = -1,

cos(x) = -1/2,

решаем это элементарное тригонометрическое уравнение,

x = ±arccos(-1/2) + 2πm, m∈Z

x = ±(π - (π/3)) + 2πm

x = ±(2π/3) + 2πm

Имеем две серии решений:

x₁ = (2π/3) + 2πm₁, m₁∈Z

x₂ = -(2π/3) + 2πm₂, m₂∈Z,

Проверим, какие из решений удовлетворяют условию 1≤x≤8.

Т.к. 3,14 < π < 3,15, то имеем

1) 2π/3 > π/2 > 1, и

(2π/3) + 2π > 8, ⇔ 8π/3 > 8, ⇔ π/3 > 1, ⇔ π > 3.

поэтому очевидно, что первая серия решений дает лишь одно значение на отрезке [1; 8], и это значение 2π/3

2) 2π - (2π/3) > 1, ⇔ 4π/3 > 1, ⇔ π > 3/4 , очевидно верно,

2π - (2π/3) < 8, ⇔ 4π/3 < 8, ⇔ π < 6, очевидно верно,

4π - (2π/3) > 8, ⇔ 10π/3 > 8, ⇔ π > 12/5 = 2+ (2/5) очевидно верно.

вторая серия решений дает лишь одно значение на отрезке [1;8], это значение есть (2π - (2π/3)) = 4π/3.

Итак, всего два решения на отрезке [1;8].