Первый тип уравнений, с которого мы начнём, это линейные уравнения. Для начала давайте точно определим, что это такое. Попросту говоря, линейное уравнение - это уравнение. содержащее ТОЛЬКО ПЕРЕМЕННУЮ В ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ. Это очень важно! Например, уравнение 5x + 6 = 7 - линейное уравнение? Почему? Потому что x в это уравнение входит лишь в первой степени, и ни в какой другой. Ещё один пример: 14x = 0 - тоже линейное уравнение. А как мы это увидели? А очень просто: x в уравнение входит лишь в первой степени. Думаю, Вы уже поняли, о чём у нас пойдёт речь. А вот какие уравнения не являются линейными: x^2 + 6x + 4 = 0 - x сюда входит не только в первой, но ещё и во второй степени. 14 - x^4 = 8 - это уравнение явно не линейного вида - x входит в 4 степени. А вот пример посложнее: 6/x + 5 = 0. Здесь / я обозначил дробную черту. А является ли это уравнение линейным? Казалось бы, внешне всё нормально. Кажется, что x в первой степени. И хочется нам сказать, что да - это уравнение линейное. Но я Вас огорчу. Это уравнение не является линейным. Тут надо добавить ещё, что в линейное уравнение не должно входить деление на переменную. В данном случае мы делим на x, уравнение не является линейным. Решать это уравнение мы с Вами пока не умеем. Надеюсь, Вы поняли, какое уравнение можно назвать линейным. 1)Где x только в первой степени 2)Где отсутствует деление на переменную. Теперь мы легко сможем опознать данный вид уравнений, значит, разберёмся с тем, как же их решать. Вообще, решаются линейные уравнения по тем правилам, которые вы уже знаете. Как найти неизвестное слагаемое? Как найти неизвестный множитель? И другие в подобном роде. рассмотрим несколько примеров.
1)5x + 7 = 0 Основное правило всегда такое: выражаем выражение, содержащее x, откуда затем и находим саму переменную. Выразим 5x из уравнения. Видим, что оно у нас здесь как неизвестное слагаемое. А как его найти? Верно, надо от суммы отнять известное слагаемое. 5x = 0 - 7 = -7 Теперь я нахожу из этого выражения сам x. А он у нас здесь идёт как неизвестный множитель. А как его найти? Надо произведение разделить на известный множитель. x = -7/5 И можем записывать ответ: x = -7/5 Прокомментирую только что разобранный пример. За счёт чего нам удалось решить линейное уравнение? Только за счёт знаний свойств суммы и произведения. Мы использовали правила, как найти неизвестные слагаемое и множитель. Сразу скажу, что для решения линейных уравнений зачастую больше ничего и не нужно. Как правило, все остальные линейные уравнения решаются по аналогичной схеме(сначала выражаем выражение с переменной, а оттуда - саму переменную) Рассмотрим ещё один пример: 2)4x + 12 = 24 Здесь поступаем аналогично. Для начала выражаем 4x, чтобы потом нам легко было добраться до x. Находим 4x вновь как неизвестное слагаемое: 4x = 24 - 12 = 12 Теперь находим отсюда x как неизвестный множитель: x = 12/4 = 3 - это ответ.
На только что изученных примерах ты могла убедиться, что линейное уравнение имеет один корень. Всегда ли так? нет, не всегда. 3)0x = 7 А вот какой корень имеет это уравнение? На самом деле, корней вообще нет! Почему? Это понятно. Мы умножаем 0 на какое-то число и получаем 7. Что-то из разряда фантастики ;) 4)0x = 0 Очевидно, что уравнение линейное. Я просто замечаю, что ЛЮБОЕ число при умножении на 0 всегда даст нам 0. Иначе и быть не может. Значит, решением этого уравнения являются ВСЕ числа - уравнение имеет бесконечно много решений.
Какой вывод мы отсюда делаем? Линейные уравнения могут либо иметь одно решение, либо вообще их не иметь, либо же иметь бесконечно много решений.
Следующее, что надо тут отметить - это так называемые равносильные преобразования уравнений. Равносильные преобразования - это преобразования, которые не меняют корней исходного уравнения. То есть. после них получается уравнение, имеющее тот же набор корней, что и предыдущее. Решим уравнение 7x + 3 = 4x + 8 Совершенно понятно, что данное уравнение является линейным - ведь степень x находится в первой степени, а никаких делений на переменную мы не наблюдаем. Только вопрос: что-то оно не напоминает предыдущие уравнения. Там мы что делали? Добивались того, чтобы в одной части уравнения было выражение с x, а в другой - без него(просто числа). Хотелось бы и здесь нам это устроить. А почему нет? Почему бы нам не привести это уравнение к виду предыдущих: ax = b. Только там было проще: нам нужны были лишь правила некоторые суммы и произведения, чтобы мы пришли к такому виду. А здесь уже этот номер не прокатывает - x в обоих частях уравнения. Вот здесь нам и приходит на первая теорема о равносильных преобразованиях уравнений:
Т1. Если какой либо член уравнения перенести в другую часть уравнения с противоположным знаком, то корни нового уравнения останутся прежними. Применим здесь этот факт. Нам выгодно сгруппировать члены с x в одной части(слева, например), а без x - справа. Переносим 4x из правой части в левую, поменяв его знак: 7x - 4x + 3 = 8 Аналогично делаем с числом 3: 7x - 4x = 8 - 3
14x = 0 - тоже линейное уравнение. А как мы это увидели? А очень просто: x в уравнение входит лишь в первой степени.
Думаю, Вы уже поняли, о чём у нас пойдёт речь.
А вот какие уравнения не являются линейными:
x^2 + 6x + 4 = 0 - x сюда входит не только в первой, но ещё и во второй степени.
14 - x^4 = 8 - это уравнение явно не линейного вида - x входит в 4 степени.
А вот пример посложнее:
6/x + 5 = 0. Здесь / я обозначил дробную черту.
А является ли это уравнение линейным? Казалось бы, внешне всё нормально. Кажется, что x в первой степени. И хочется нам сказать, что да - это уравнение линейное. Но я Вас огорчу. Это уравнение не является линейным. Тут надо добавить ещё, что в линейное уравнение не должно входить деление на переменную. В данном случае мы делим на x, уравнение не является линейным. Решать это уравнение мы с Вами пока не умеем.
Надеюсь, Вы поняли, какое уравнение можно назвать линейным.
1)Где x только в первой степени
2)Где отсутствует деление на переменную.
Теперь мы легко сможем опознать данный вид уравнений, значит, разберёмся с тем, как же их решать.
Вообще, решаются линейные уравнения по тем правилам, которые вы уже знаете. Как найти неизвестное слагаемое? Как найти неизвестный множитель? И другие в подобном роде. рассмотрим несколько примеров.
1)5x + 7 = 0
Основное правило всегда такое: выражаем выражение, содержащее x, откуда затем и находим саму переменную.
Выразим 5x из уравнения. Видим, что оно у нас здесь как неизвестное слагаемое. А как его найти? Верно, надо от суммы отнять известное слагаемое.
5x = 0 - 7 = -7
Теперь я нахожу из этого выражения сам x. А он у нас здесь идёт как неизвестный множитель. А как его найти? Надо произведение разделить на известный множитель.
x = -7/5
И можем записывать ответ: x = -7/5
Прокомментирую только что разобранный пример. За счёт чего нам удалось решить линейное уравнение? Только за счёт знаний свойств суммы и произведения. Мы использовали правила, как найти неизвестные слагаемое и множитель. Сразу скажу, что для решения линейных уравнений зачастую больше ничего и не нужно. Как правило, все остальные линейные уравнения решаются по аналогичной схеме(сначала выражаем выражение с переменной, а оттуда - саму переменную)
Рассмотрим ещё один пример:
2)4x + 12 = 24
Здесь поступаем аналогично. Для начала выражаем 4x, чтобы потом нам легко было добраться до x. Находим 4x вновь как неизвестное слагаемое:
4x = 24 - 12 = 12
Теперь находим отсюда x как неизвестный множитель:
x = 12/4 = 3 - это ответ.
На только что изученных примерах ты могла убедиться, что линейное уравнение имеет один корень. Всегда ли так? нет, не всегда.
3)0x = 7
А вот какой корень имеет это уравнение? На самом деле, корней вообще нет! Почему? Это понятно. Мы умножаем 0 на какое-то число и получаем 7. Что-то из разряда фантастики ;)
4)0x = 0
Очевидно, что уравнение линейное.
Я просто замечаю, что ЛЮБОЕ число при умножении на 0 всегда даст нам 0. Иначе и быть не может. Значит, решением этого уравнения являются ВСЕ числа - уравнение имеет бесконечно много решений.
Какой вывод мы отсюда делаем? Линейные уравнения могут либо иметь одно решение, либо вообще их не иметь, либо же иметь бесконечно много решений.
Следующее, что надо тут отметить - это так называемые равносильные преобразования уравнений. Равносильные преобразования - это преобразования, которые не меняют корней исходного уравнения. То есть. после них получается уравнение, имеющее тот же набор корней, что и предыдущее.
Решим уравнение 7x + 3 = 4x + 8
Совершенно понятно, что данное уравнение является линейным - ведь степень x находится в первой степени, а никаких делений на переменную мы не наблюдаем.
Только вопрос: что-то оно не напоминает предыдущие уравнения. Там мы что делали? Добивались того, чтобы в одной части уравнения было выражение с x, а в другой - без него(просто числа). Хотелось бы и здесь нам это устроить. А почему нет? Почему бы нам не привести это уравнение к виду предыдущих: ax = b. Только там было проще: нам нужны были лишь правила некоторые суммы и произведения, чтобы мы пришли к такому виду. А здесь уже этот номер не прокатывает - x в обоих частях уравнения.
Вот здесь нам и приходит на первая теорема о равносильных преобразованиях уравнений:
Т1. Если какой либо член уравнения перенести в другую часть уравнения с противоположным знаком, то корни нового уравнения останутся прежними.
Применим здесь этот факт. Нам выгодно сгруппировать члены с x в одной части(слева, например), а без x - справа.
Переносим 4x из правой части в левую, поменяв его знак:
7x - 4x + 3 = 8
Аналогично делаем с числом 3:
7x - 4x = 8 - 3