3) a) f(x) = 2^(3x+5) f ' (x) = 2^(3x+5)*ln 2*3 = 3ln 2*2^(3x+5) b) f(x) = cos(3x-1) f ' (x) = -sin(3x-1)*3 = -3sin(3x-1) c) f(x) = -2x f ' (x) = -2
4) Тангенс угла наклона касательной графика к оси в точке равен производной от функции в этой точке. f(x) = 3x^3 - 35x + 8 f ' (x) = 9x^2 - 35 f ' (2) = 9*4 - 35 = 36 - 35 = 1 = tg a a = pi/4 = 45°
f ' (x) = 15x^2 - 24x^3 + 6x
f ' (1) = 15 - 24 + 6 = -3
2) f(x) = (x^2 + 1)(x^3 - 2)
f ' (x) = 2x(x^3-2) + (x^2+1)*3x^2 = 2x^4 - 4x + 3x^4 + 3x^2 = 5x^4 + 3x^2 - 4x
f ' (1) = 5 + 3 - 4 = 4
3) a) f(x) = 2^(3x+5)
f ' (x) = 2^(3x+5)*ln 2*3 = 3ln 2*2^(3x+5)
b) f(x) = cos(3x-1)
f ' (x) = -sin(3x-1)*3 = -3sin(3x-1)
c) f(x) = -2x
f ' (x) = -2
4) Тангенс угла наклона касательной графика к оси в точке равен производной от функции в этой точке.
f(x) = 3x^3 - 35x + 8
f ' (x) = 9x^2 - 35
f ' (2) = 9*4 - 35 = 36 - 35 = 1 = tg a
a = pi/4 = 45°
Y = (x²+1)/(x² - 1)
РЕШЕНИЕ
Рисунок с графиком в приложении.
ИССЛЕДОВАНИЕ
1.Область определения D(x).
x²- 1 = (x+1)(x-1) ≠ 0, x≠ +/-1. Два разрыва.
Х∈(-∞;-1)∪(-1;1)∪(1;+∞).
2. Вертикальные асимптоты - две: Х=-1, Х=1.
3. Пересечение с осью Х. Y=0 - нет.
3. Пересечение с осью У. У(0) = -1.
4. Поведение на бесконечности. Сокращаем на х² - числитель и знаменатель.
limY(-∞) = (1+0)/(1-0) = 1. Справа Y=1. limY(+∞) = 1.
Горизонтальная асимптота - Y= 1.
5. Исследование на чётность.Y(-x) = Y(x).
Функция чётная.
6. Производная функции.
Корень при Х=0.
7. Локальные экстремумы.
Максимум - Y(0) = -1 . Минимума - нет.
8. Интервалы монотонности.
Возрастает - Х∈[-∞;-1)∪(1;0], убывает - X∈[0;1)∪(1;+∞)
9. Вторая производная - Y"(x). Анализируем первую производную.
Максимума Y'(x) - нет - точек перегиба НА ГРАФИКЕ - нет.
9. Выпуклая “горка» Х∈(-1;1), Вогнутая – «ложка» Х∈(-∞;-1)∪(1;+∞).
10. Поведение в точках разрыва.
lim(-1-)Y(x) = +∞,lim(-1+)Y(x) = -∞,lim(1-)Y(x) =-∞,lim(1+)Y(x) = +∞,
11. График в приложении.