Відповідь:
х²/225 + у²/81 = 1
Покрокове пояснення:
Канонічне рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі Ох, а початок координат розташований посередині між ними, має вигляд
х²/а² + у²/в² = 1
Відстань між його фокусами 2 * с = 24
с = 12
Ексцентриситет е = с / а = 4 / 5
а = с / 4 * 5 = 12 / 4 * 5 = 15 - велика півось еліпса.
а² - в² = с²
в² = а² - с² = 225 - 144 = 81
в = 9 - мала півось еліпса.
Рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі Ох, а початок координат розташований посередині між ними, має вигляд
х²/15² + у²/9² = 1
Пошаговое объяснение:
Иначе говоря, нам нужно построить касательную к окружности
(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16
проходящую через т. A(0; -12).
А потом вычислить, в какой точке эта касательная пересекает окружность.
Но из одной точки можно провести к окружности две касательных.
Нас интересует та, которая имеет тупой угол наклона к оси Ох.
То есть та, у которой коэффициент k < 0.
Уравнение прямой, проходящей через т. А:
a
k(x - 0) = y + 12
kx = y + 12
y = kx - 12
Касательная пересекается с окружностью только в одной точке.
Это значит, что при подстановке:
(x-2)^2 + (kx-12+3)^2 = 16
Получается уравнение, которое имеет только один корень.
(x-2)^2 + (kx-9)^2 = 16
x^2 - 4x + 4 + k^2*x^2 - 18kx + 81 - 16 = 0
x^2*(k^2+1) + x*(-18k-4) + 69 = 0
Так как уравнение имеет один корень, то D = 0
D = (-18k-4)^2 - 4(k^2+1)*69 = 0
324k^2 + 144k + 16 - 276k^2 - 276 = 0
48k^2 + 144k - 260 = 0
12k^2 + 36k - 65 = 0
D/4 = 18^2 - 12(-65) = 324 + 780 = 1104
k1 = (-18 - √1104)/12 < 0 - подходит.
k2 = (-18 + √1104)/12 > 0 - не подходит.
Итак, коэффициент касательной:
k = (-18 - √1104)/12 = (-18 - 2√276)/12 = (-9 - √276)/6
Прямая: y = (-9 - √276)/6*x - 12
Найдем точку пересечения с окружностью, подставив k в уравнение:
x^2*((-9-√276)^2/36 + 1) + x*(-3(-9-√276) - 4) + 69 = 0
x^2*(81+18√276+276+36)/36 + x*(27+3√276-4) + 69 = 0
x^2*(393+18√276) + x*(23+3√276)*36 + 69*36 = 0
Что-то мне кажется, что где-то ошибка в задании.
Потому что я решил вроде бы без ошибок, а получилось такое уравнение.
Відповідь:
х²/225 + у²/81 = 1
Покрокове пояснення:
Канонічне рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі Ох, а початок координат розташований посередині між ними, має вигляд
х²/а² + у²/в² = 1
Відстань між його фокусами 2 * с = 24
с = 12
Ексцентриситет е = с / а = 4 / 5
а = с / 4 * 5 = 12 / 4 * 5 = 15 - велика півось еліпса.
а² - в² = с²
в² = а² - с² = 225 - 144 = 81
в = 9 - мала півось еліпса.
Рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі Ох, а початок координат розташований посередині між ними, має вигляд
х²/15² + у²/9² = 1
х²/225 + у²/81 = 1
Пошаговое объяснение:
Иначе говоря, нам нужно построить касательную к окружности
(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16
проходящую через т. A(0; -12).
А потом вычислить, в какой точке эта касательная пересекает окружность.
Но из одной точки можно провести к окружности две касательных.
Нас интересует та, которая имеет тупой угол наклона к оси Ох.
То есть та, у которой коэффициент k < 0.
Уравнение прямой, проходящей через т. А:
a
k(x - 0) = y + 12
kx = y + 12
y = kx - 12
Касательная пересекается с окружностью только в одной точке.
Это значит, что при подстановке:
(x-2)^2 + (kx-12+3)^2 = 16
Получается уравнение, которое имеет только один корень.
(x-2)^2 + (kx-9)^2 = 16
x^2 - 4x + 4 + k^2*x^2 - 18kx + 81 - 16 = 0
x^2*(k^2+1) + x*(-18k-4) + 69 = 0
Так как уравнение имеет один корень, то D = 0
D = (-18k-4)^2 - 4(k^2+1)*69 = 0
324k^2 + 144k + 16 - 276k^2 - 276 = 0
48k^2 + 144k - 260 = 0
12k^2 + 36k - 65 = 0
D/4 = 18^2 - 12(-65) = 324 + 780 = 1104
k1 = (-18 - √1104)/12 < 0 - подходит.
k2 = (-18 + √1104)/12 > 0 - не подходит.
Итак, коэффициент касательной:
k = (-18 - √1104)/12 = (-18 - 2√276)/12 = (-9 - √276)/6
Прямая: y = (-9 - √276)/6*x - 12
Найдем точку пересечения с окружностью, подставив k в уравнение:
x^2*((-9-√276)^2/36 + 1) + x*(-3(-9-√276) - 4) + 69 = 0
x^2*(81+18√276+276+36)/36 + x*(27+3√276-4) + 69 = 0
x^2*(393+18√276) + x*(23+3√276)*36 + 69*36 = 0
Что-то мне кажется, что где-то ошибка в задании.
Потому что я решил вроде бы без ошибок, а получилось такое уравнение.