планировалось создать прямоугольную альпинистскую стену с размерами x и 2x. Во время создания стены изменились ее размеры. Когда альпинистская стена была построена, ее площадь можно было выразить полиномом 2x 2 + 7x + 6. На сколько единиц длины увеличилась или уменьшилась ширина и длина стены?
1) (метод сложения)
3х+у=1 \ *3
2х-3у=8
9x+3y=3
2x- 3y=8
(складываем +3y и -3y)
11x=11
3x+y=1
x=1
3+y=1
x=1
y=-2
(1; -2)
2)
-5х-4у=-2 \ ÷5
3х+7у= -27
-x- 4/5y = -2/5
3х+7у= -27
(подстановкой)
-x= -2/5 +4/5y
3х+7у= -27
x= 2/5 -4/5y
3×(2/5 -4/5y) +7y= -27
x= 2/5 -4/5y
6/5 -12/5y +7y= -27
x= 2/5 -4/5y
-12/5y+7y= -27 -6/5
x= 2/5 -4/5y
-2 2/5y+7y= -27- 1 1/5
x= 2/5- 4/5y
4 3/5y= -28 1/5
x= 2/5 -4/5y
y= (-141/5)÷23/5
x= 2/5-4/5y
y= -141/23
x= 2/5- 4/5×(-141/23)
y= -141/23
x=2/5+ 564/115
y= -141/23
x= (46+564):115= 610/115
y= -141/23
x= 122/23
y= -141/23
x= 5 7/23
y= -6 2/23
( 5 7/23 ; -6 2/23
3)
2х-у=5 \*4
3х+4у=2
8x-4y=20
3x+4y=2
(сложением)
11x=22
3x+4y=2
x=2
6+4y=2
x=2
4y=-4
x=2
y=-1
(2;-1)
4)
3х+4у=-16 \*5
4х-5у=-11 \*4
15x+20y=-80
16x- 20y=-44
(cложение)
31x= -124
3x+4y=-16
x=-4
-12 +4y=-16
x=-4
4y=-4
x=-4
y=-1
(-4;-1)
Подробнее - на -
Пошаговое объяснение:
равенство.Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:
A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:Система уравнений Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) — вот и все!Вычисление координат векторовА что, если в задаче нет векторов — есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Все просто: зная координаты точек — начала и конца вектора — можно вычислить координаты самого вектора.Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала.Эта теорема одинаково работает и на плоскости, и в пространстве. Выражение «вычесть координаты» означает, что из координаты x одной точки вычитается координата x другой, затем то же самое надо сделать с координатами y и z. Вот несколько примеров:Задача. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)Обратите внимание на вычисление координат последнего вектора BC: очень многие ошибаются, когда работают с отрицательными числами. Это касается переменной y: у точки B координата y = − 1, а у точки C y = 3. Получаем именно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, как многие считают. Не допускайте таких глупых ошибок!Вычисление направляющих векторов для прямыхЕсли вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Там только прямые да плоскости.Для начала разберемся с прямыми. Здесь все просто: на любой прямой найдутся хотя бы две различные точки и, наоборот, любые две различные точки задают единственную прямую...Кто-нибудь понял, что написано в предыдущем абзаце? Я и сам не понял, поэтому объясню проще: в задаче C2 прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый направляющий вектор для прямой: