В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Х
Химия
Д
Другие предметы
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
М
Музыка
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
У
Українська література
Р
Русский язык
Ф
Французский язык
П
Психология
О
Обществознание
А
Алгебра
М
МХК
Г
География
И
Информатика
П
Право
А
Английский язык
Г
Геометрия
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
sasharuf2000
sasharuf2000
22.03.2021 20:52 •  Математика

По определению, n ! = 1 х 2 х 3 ? n . какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! х 2! х 3! х 20! , чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?

Показать ответ
Ответ:
DaryaGoldman1812
DaryaGoldman1812
05.10.2020 01:51

10!

Пошаговое объяснение:

Расставим скобки, собрав пары соседних сомножителей:

1!\cdot2!\cdot3!\cdot4!\cdots19!\cdot20!=(1!\cdot2!)\cdot(3!\cdot4!)\cdots(19!\cdot20!)=\star

Каждая скобка представляет собой произведение вида

n!\cdot(n+1)!=n!\cdot(1\cdot2\cdot3\cdots n\cdot(n+1))=n!\cdot n!\cdot(n+1)=(n!)^2\cdot(n+1)

Тогда

\star=(1!)^2\cdot2\cdot(3!)^2\cdot4\cdot(5!)^2\cdot6\cdots(19!)^2\cdot20=(1!\cdot3!\cdots19!)^2\times\\\times(2\cdot4\cdot6\cdots20)=\heartsuit

Первый множитель представляет собой полный квадрат, во втором все сомножители делятся на 2:

2\cdot4\cdot6\cdots20=(2\cdot1)\cdot(2\cdot2)\cdots(2\cdot10)=2^{10}\cdot(1\cdot2\cdots10)=2^{10}\cdot10!

Таким образом,

\heartsuit=(1!\cdot3!\cdots19!)^2\cdot2^{10}\cdot10!=(1!\cdot3!\cdots19!\cdot2^5)^2\cdot10!

Чтобы выражение осталось полным квадратом, достаточно вычеркнуть 10!.

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота