В равностороннем треугольнике ABC на сторонах AC и BC отметили точки D и E такие, что CD=2AD, BE=2CE. Обозначим точку пересечения отрезков AE и BD через F. Чему равен угол BFC?
Пошаговое объяснение:
1) Введем прямоугольную систему координат .Пусть АВ=ВС=АС=1. Пусть FC∩АВ=Р .Пусть ЕК⊥АС, ВН⊥АС, РМ⊥АС.
2) Определим координаты точек .
А(0;0) ,В( ; ) ,С(1;0) ,Н(0,5 ;0) ,D( ;0) ,К( ;0) , Е(
3)Найдем координаты направляющих векторов: DB( ; ) , РС( ; ).
4)Найдем скалярное произведение векторов .
DB *РС= * + *( ) = ⇒вектор DB⊥PC ⇒∠BFC=90°.
=======================================
Пояснения( жуткие вычисления , слабонервным можно не читать).
1) Координаты точки Е. ΔКСЕ прямоугольный .
КЕ=СЕ*sin60= * .
КС=СЕ*cos60= = , поэтому АК= 1- → Е( ; ) .
2)Координаты точки В. ΔАВН- прямоугольный .
АН=НС= .
ВН=АВ*sin60=1* =
3)Ищем координаты точки Р
а)ΔВDC , по т. Менелая , , .
б)ΔАВD , по т. Менелая , , ,
AP= = .
в)ΔАРМ прямоугольный .
РМ=АР*sin60= * = .
АМ=АР*cos60= = → P ( ; ) .
1. На отрезке длиной: А лин.ед;
2. Поставили точки: Nт1 = 100 шт;
3. Через равные промежутки длиной: Lп лин.ед;
4. Число промежутков между точками равно: N1 шт;
N1 = Nт - 1 = 100 - 1 = 99 шт;
5. На отрезке длиной: В лин.ед;
6. Поставили через такие же промежутки точки: Nт2 = 10000 шт;
7. Число промежутков между точками равно: N2 шт;
N2 = Nт - 1 = 10000 - 1 = 9999 шт;
8. Вычислим отношение: В / А = (Lп * N2) / (Lп * N1) = N2 / N1 = 9999 / 99 = 101;
9. Замечание: если нумеровать точки, начиная с нуля, то номер точки соответствует числу промежутков между первой и данной точкой.
ответ: отрезок А меньше отрезка В в 101 раз.
В равностороннем треугольнике ABC на сторонах AC и BC отметили точки D и E такие, что CD=2AD, BE=2CE. Обозначим точку пересечения отрезков AE и BD через F. Чему равен угол BFC?
Пошаговое объяснение:
1) Введем прямоугольную систему координат .Пусть АВ=ВС=АС=1. Пусть FC∩АВ=Р .Пусть ЕК⊥АС, ВН⊥АС, РМ⊥АС.
2) Определим координаты точек .
А(0;0) ,В(
;
) ,С(1;0) ,Н(0,5 ;0) ,D( 
;0) ,К( 
;0) , Е(
3)Найдем координаты направляющих векторов: DB(
;
) , РС( 
;
).
4)Найдем скалярное произведение векторов .
DB *РС=
* 
+ 
*(
) =
⇒вектор DB⊥PC ⇒∠BFC=90°.
=======================================
Пояснения( жуткие вычисления , слабонервным можно не читать).
1) Координаты точки Е. ΔКСЕ прямоугольный .
КЕ=СЕ*sin60=
* 
.
КС=СЕ*cos60=
=
, поэтому АК= 1-
→ Е( 
;
) .
2)Координаты точки В. ΔАВН- прямоугольный .
АН=НС=
.
ВН=АВ*sin60=1*
=
3)Ищем координаты точки Р
а)ΔВDC , по т. Менелая
, 
, 
.
б)ΔАВD , по т. Менелая
, 
, 
,
AP=
= 
.
в)ΔАРМ прямоугольный .
РМ=АР*sin60=
* 
= 
.
АМ=АР*cos60=
=
→ P ( 
;
) .
1. На отрезке длиной: А лин.ед;
2. Поставили точки: Nт1 = 100 шт;
3. Через равные промежутки длиной: Lп лин.ед;
4. Число промежутков между точками равно: N1 шт;
N1 = Nт - 1 = 100 - 1 = 99 шт;
5. На отрезке длиной: В лин.ед;
6. Поставили через такие же промежутки точки: Nт2 = 10000 шт;
7. Число промежутков между точками равно: N2 шт;
N2 = Nт - 1 = 10000 - 1 = 9999 шт;
8. Вычислим отношение: В / А = (Lп * N2) / (Lп * N1) = N2 / N1 = 9999 / 99 = 101;
9. Замечание: если нумеровать точки, начиная с нуля, то номер точки соответствует числу промежутков между первой и данной точкой.
ответ: отрезок А меньше отрезка В в 101 раз.