Про некоторую дробь с положительными числителем и знаменателем известно, что при увеличении её числителя и знаменателя на 12, она сама увеличится в 3 раза. найдите все такие несократимые дроби. в ответе укажите сумму сумму дробей, обратных к полученным. если таких дробей нет, укажите в ответе 0.
Обозначим начальную дробь a/b.
Условие: (a+12)/(b+12) = 3a/b
b(a+12) = 3a(b+12)
ab + 12b = 3ab + 36a
2ab + 36a = 12b
ab + 18a = 6b
a(b + 18) = 6b
a = 2*3b/(b+18)
Рассмотрим разные варианты:
1) a = 2, тогда 3b = b+18, отсюда b = 9
Дробь a/b = 2/9, (a+12)/(b+12) = 14/21 = 2/3 = 3*2/9
2) a = 3, тогда 2b = b+18, отсюда b = 18
Дробь a/b = 3/18 = 1/6, (a+12)/(b+12) = 15/30 = 1/2 = 3*1/6
3) a = 6, тогда b = b+18, решений нет.
4) a = b, тогда 6 = b+18, отсюда b = a = -12
Дробь a/b = -12/(-12) = 1, (a+12)/(b+12) = 0/0 - решений нет.
Сумма дробей, обратных к решениям:
S = 9/2 + 1/(1/6) = 4,5 + 6 = 10,5