Прямая y=5x-8 является касательной к графику функции y=6x2+bx+16.Найти b.

b={-19;29}

Пошаговое объяснение:

уравнение касательной: y=f'(x₀)(x-x₀)+f(x₀)=f'(x₀)x+(f(x₀)-f'(x₀)x₀)

у нас f'(x₀)=5, f(x₀)-f'(x₀)x₀=-8,

f'(x)=12x+b, 12x₀+b=5⇒b=5-12x₀, f(x₀)=6x₀²+bx₀+16=-8+5x₀⇒

6x₀²+bx₀+16+8-5x₀=0⇒6x₀²+(5-12x₀)x₀+24-5x₀=0⇒

6x₀²+5x₀-12x₀²+24-5x₀=0⇒-6x₀²+24=0⇒-6(x₀²-4)=0⇒x₀=±2

b₁=5-12×2=-19, x₀=2

b₂=5+24=29, x₀=-2

проверка:

1) f(x)=6x²-19x+16⇒f(2)=24-38+16=2

f'(x)=12x-19⇒f'(2)=24-19=5

y=5(x-2)+2=5x-10+2=5x-8

2) f(x)=6x²+29x+16⇒f(-2)=24-58+16=-18

f'(x)=12x+29⇒f'(-2)=-24+29=5

y=5(x+2)-18=5x+10-18=5x-8

Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому 6х²+вх+16=5х-8 . В этом случае D=0.

6х²+(в-5)х+24=0 ⇒ D=(в-5)²-24² , (в-5)²-24² =0

(в-5-24)(в-5+24)=0 , в=-19 , в=29.

Т.к касание в одной точке ,то найдем точку касания

1) у= 6х²-19х+16 и у=5х-8

6х²-19х+16=5х-8 ,х²-4х+4 =0 ⇒ х=2.

у(2)= 6*(2)²-19*(2)+16=24-38+16=2 , у(-2)=5*(2)-8=-2 . Совпали ,подходит.

2) у= 6х²+29х+16 и у=5х-8

6х²+29х+16=5х-8 ,х²+4х+4 =0 ⇒ х=-2.

у(-2)= 6*(-2)²+29*(-2)+16=24-58+16=-18 , у(-2)=5*(-2)-8=-18 . Совпали , подходит.

ответ : -19 , 29