Пусть f - многочлен, а F - множество решений уравнения f(x) = х - совпадает с множеством решений уравнения f(f(x)) = x. Покажите, что множество решений уравнения f(f(...(x)...)) совпадает с F.
Поскольку многочлен, то у него есть значение в любой точке. (*)
Докажем утверждение по индукции.
База: - это то, что дано по условию.
Переход:
Пусть для некоторого верно; Докажем, что из этого следует справедливость утверждения и для ; Действительно, по предположению индукции множество решений уравнения совпадает с ; Возьмем от обеих частей (благодаря (*) мы можем это сделать): ; Но если сделать замену , получим ; А множество решений этого уравнения лежит в ; Предположим, что есть некоторый элемент , такой, что для него не найдется , чтобы ; Тогда , но лежит в , противоречие. Это завершает переход.
Пусть
означает 
, где 
применена 
раз.
Поскольку
многочлен, то у него есть значение в любой точке. (*)
Докажем утверждение по индукции.
База:
- это то, что дано по условию.
Переход:
Пусть для некоторого
верно; Докажем, что из этого следует справедливость утверждения и для 
; Действительно, по предположению индукции множество решений уравнения 
совпадает с 
; Возьмем 
от обеих частей (благодаря (*) мы можем это сделать): 
; Но если сделать замену 
, получим 
; А множество решений этого уравнения лежит в 
; Предположим, что есть некоторый элемент 
, такой, что для него не найдется 
, чтобы 
; Тогда 
, но 
лежит в 
, противоречие. Это завершает переход.