Пусть m и n – натуральные числа, причем m/n – правильная несократимая дробь. На какие натуральные числа можно сократить дробь 3n-m/5n+2m, если известно, что она сократима?

на 11

Пошаговое объяснение:

Так как m и n - натуральные числа, причём m/n - правильная несократимая дробь, то НОД (m,n)=1 (вытекает из за несократимости) и m < n (вытекает из того что дробь правильная) .

По условию (3n-m)/(5n+2m) - дробь сократима, значит НОД (3n-m,5n+2m)=х > 1

НОД (3n-m,5n+2m)=x> 1, это значит что существуют такие натуральные числа d и e, что 3n-m = хd    и      5n+2m= хe, причем НОД (d,e)=1

Получили систему:

3n-m = хd

5n+2m= хe

относительно n и m, и находим:

n=х(2d+e)/11

m=х(5d-3e)/11

Числа m и n должны быть натуральные, причем НОД (m,n)=1 (по условию), отсюда получаем два случая для х:

a) если х - натуральное число делящиеся на 11, то n и m натуральные, причем х должно быть равно 11, потому что иначе у n и m будет делитель равный 11.

b) если х - не делится на 11, то тогда числа 2d+e и 5d-3e должны делиться на 11, что тоже не может быть так как иначе у n и m будет делитель равный х > 1.

Значит только при х=11 все условия в задаче будут соблюдены.

ответ: на натуральное число 11  можно сократить сократимую дробь 3n-m/5n+2m