Рабочий обслуживает m станков. Поток требований на обслуживание пуассоновский с параметром λ станков в час. Время обслуживания одного станка подчинено экспоненциальному зако-ну. Среднее время обслуживания одного станка равна μ минут. Определить вероятность простоя станка, если n=2, m=2, λ=4, μ=12.
P0 = 1/(∑(n=0, m)(λ/μ)^n/n!)
Где:
P0 - вероятность простоя системы,
λ - интенсивность потока требований (количество заявок в единицу времени),
μ - интенсивность обслуживания (количество заявок, обслуживаемых за единицу времени),
m - количество станков,
n - количество требований, ожидающих обслуживания.
Для начала найдем значение интенсивности потока требований λ:
λ = λ станков * m
Заметим, что λ станков = 4 станка в час, поэтому:
λ = 4 * 2 = 8 станков в час
Теперь найдем интенсивность обслуживания μ:
μ = 1/время обслуживания одного станка
Так как среднее время обслуживания одного станка равно 12 минутам, то:
μ = 1/12 станков в минуту
Для удобства расчетов можно привести единицы измерения времени к часам, умножив интенсивность обслуживания на 60:
μ = (1/12) * 60 = 5 станков в час
Таким образом, мы получили значения λ = 8 станков в час и μ = 5 станков в час.
Теперь мы можем рассчитать вероятность простоя системы P0:
P0 = 1/(∑(n=0, m)(λ/μ)^n/n!)
Здесь n принимает значения от 0 до m, то есть от 0 до 2.
Для удобства расчетов можем представить формулу в виде:
P0 = 1/(P0_0 + P0_1 + P0_2)
где P0_0, P0_1, P0_2 - вероятности простоя системы при n = 0, 1, 2 соответственно.
Теперь рассчитаем каждую из этих вероятностей:
P0_0 = (λ/μ)^0/0! = (8/5)^0/0! = 1/1 = 1
P0_1 = (λ/μ)^1/1! = (8/5)^1/1! = 8/5
P0_2 = (λ/μ)^2/2! = (8/5)^2/2! = 64/20 = 3.2
Теперь подставим значения в исходную формулу для вероятности простоя системы:
P0 = 1/(P0_0 + P0_1 + P0_2) = 1/(1 + 8/5 + 3.2) = 1/(1 + 1.6 + 3.2) = 1/6.8 ≈ 0.147
Таким образом, вероятность простоя станка равна примерно 0.147 или 14.7%.
Ответ: Вероятность простоя станка при заданных значениях равна примерно 0.147 или 14.7%.