:
Равновесие
..
Развесь все Гири так, чтобы конструкция полностью пришла в равновесие
Гири можно подвешивать друг на друга.​

А) n^4+64=(n^2)^2 + 2*n^2*8 + 8^2 - 2*n^2*8=(n^2+8)^2-(4n)^2=
(n^2-4n+8)*(n^2+4n+8)
При n>0 n^2-4n+8 < n^2+4n+8. Поэтому если n^2-4n+8 > 1, то n^2+4n+8 > 1, а все произведение - составное число. 
n^2-4n+8>1 достигается при любых значениях n:
n^2-4n+7>0
D=(-4)^2-4*7=-12<0
Причем n^2-4n+8=1 ни при каких n.
Таким образом, n^4+64 является составным при любых натуральных n.
б) n^4+n^2+1=n^4+2n^2+1-n^2=(n^2+1)^2-n^2=(n^2-n+1)(n^2+n+1)
При n > 0 n^2-n+1<n^2+n+1.
Рассмотрим случай, когда n^2-n+1=1.
n^2-n=0,
n=0 или n=1.
Соответственно, при n=1 n^4+n^2+1=(1^2-1+1)(1^2+1+1)=3 - простое число. n=1 не подходит.
Если n^2-n+1>1, n > 1 - каждая из скобок больше 1. То есть произведение этих скобок дает составное число.
Таким образом, n^4+n^2+1 является составным для всех натуральных n, кроме 1.

Методом подбора рассмотрим крайние варианты: 1 вариант Мальчики сбивали кегли 13 раз. За эти 13 раз Юра не сбил ни одной, а так как Антон каждый раз сбивал больше, чем Юра, то выглядеть это может так: Юра Антон 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Итого: Юра сбил 0 кеглей, Антон сбил 13 кеглей 2 вариант Пусть Юра сбил сразу 6 кеглей. Тогда Антон сбил 7 кеглей Как мы видим, вариантов может быть несколько: Юра сбил 0 кеглей, Антон - 13 кеглей Юра сбил 1 кеглю, Антон - 12 кеглей Юра сбил 2 кегли, Антон - 11 кеглей Юра сбил 3 кегли, Антон - 10 кеглей Юра сбил 4 кегли, Антон - 9 кеглей Юра сбил 5 кеглей, Антон - 8 кеглей Юра сбил 6 кеглей, Антон - 7 кеглей