1. Записать двойной интеграл в виде повторного, расставив пределы интегрирования в том и другом порядке:
Решение. Изобразим область (см. вложение 1).
Имеем:
— полудуги окружности слева и справа.
Тогда повторный интеграл:
Пояснение. Первый слева интеграл имеет пределы интегрирования от наименьшего значения до наибольшего значения по оси Второй интеграл имеет пределы интегрирования по движению в горизонтальном направлении от дуги до дуги (см. вложение 2).
— полудуги окружности сверху и снизу.
Тогда повторный интеграл:
Пояснение. Первый слева интеграл имеет пределы интегрирования от наименьшего значения до наибольшего значения по оси Второй интеграл имеет пределы интегрирования по движения в вертикальном направлении от дуги до дуги (см. вложение 3).
2. Найти частные производные второго порядка функции:
Решение. Найдём частную производную первого порядка по считая что — переменная, — постоянная:
Найдём частную производную первого порядка по считая что — переменная, — постоянная:
Найдём частную производную второго порядка по
Найдём частную производную второго порядка по
Найдём частную производную функции по
3. Исследовать на сходимость ряд с общим членом
Решение. Найдем
Найдем предел:
Таким образом, по признаку Даламбера ряд с общим членом является сходящим.
1. Записать двойной интеграл в виде повторного, расставив пределы интегрирования в том и другом порядке:
Решение. Изобразим область
(см. вложение 1).
Имеем:
Тогда повторный интеграл:
Пояснение. Первый слева интеграл имеет пределы интегрирования от наименьшего значения до наибольшего значения по оси
Второй интеграл имеет пределы интегрирования по движению в горизонтальном направлении от дуги
до дуги
(см. вложение 2).
Тогда повторный интеграл:
Пояснение. Первый слева интеграл имеет пределы интегрирования от наименьшего значения до наибольшего значения по оси
Второй интеграл имеет пределы интегрирования по движения в вертикальном направлении от дуги
до дуги
(см. вложение 3).
2. Найти частные производные второго порядка функции:
Решение. Найдём частную производную первого порядка по
считая что
— переменная,
— постоянная:
Найдём частную производную первого порядка по
считая что
— переменная,
— постоянная:
Найдём частную производную второго порядка по![x \colon](/tpl/images/2006/9005/93fc7.png)
Найдём частную производную второго порядка по![y \colon](/tpl/images/2006/9005/930e8.png)
Найдём частную производную функции
по ![x \colon](/tpl/images/2006/9005/93fc7.png)
3. Исследовать на сходимость ряд с общим членом![a_{n} \colon](/tpl/images/2006/9005/79745.png)
Решение. Найдем![a_{n+1}\colon](/tpl/images/2006/9005/fdf30.png)
Найдем предел:
Таким образом, по признаку Даламбера ряд с общим членом
является сходящим.