Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами.
Общее решение этого уравнения:
— общее решение соответствующего однородного уравнения:
Воспользуемся методом Эйлера. Подстановка: .
Тогда получим характеристическое уравнение:
Имеем комплексно-сопряженные корни вида
Здесь и
Тогда и
Используем формулу Эйлера:
Значит,
Таким образом, фундаментальная система решений: — линейно независимые функции.
Общее решение:
— частное решение ЛНДУ с постоянными коэффициентами. Для его нахождения используется метод подбора вида частного решения по виду правой части уравнения.
Правая часть второго типа:
В нашем уравнении и не совпадает корнем однородного ЛДУ, а именно: и , поэтому , где — неизвестный коэффициент, который нужно найти.
Здесь и
Подставим и в заданное уравнение со специальной правой частью:
Частное решение:
Общее решение заданного дифференциального уравнения:
Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами.
Общее решение этого уравнения:![y = y^{*} + \widetilde{y}](/tpl/images/1356/7057/32e83.png)
Воспользуемся методом Эйлера. Подстановка:
.
Тогда получим характеристическое уравнение:
Имеем комплексно-сопряженные корни вида![\alpha \pm \beta i](/tpl/images/1356/7057/9dc08.png)
Здесь
и ![\beta =3](/tpl/images/1356/7057/1282b.png)
Тогда
и ![\overline{y}_{2} = e^{(-4 - 3i)x}](/tpl/images/1356/7057/4d3f8.png)
Используем формулу Эйлера:![e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi](/tpl/images/1356/7057/3a339.png)
Значит,![\overline{y}_{1} = e^{(-4 + 3i)x} = e^{-4x} \cdot e^{3ix} = e^{-4x}(\cos 3x + i\sin 3x) = e^{-4x} \cos 3x + ie^{-4x}\sin 3x](/tpl/images/1356/7057/ecd06.png)
Таким образом, фундаментальная система решений:
— линейно независимые функции.
Общее решение:![y^{*} = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2} = C_{1} e^{-4x}\cos 3x + C_{2}e^{-4x}\sin 3x](/tpl/images/1356/7057/12f74.png)
Правая часть второго типа:![f(x) = e^{\alpha x}\left(P_{s}(x)\cos \beta x + Q_{m}(x)\sin \beta x \right)](/tpl/images/1356/7057/3a30e.png)
В нашем уравнении
и не совпадает корнем однородного ЛДУ, а именно:
и
, поэтому
, где
— неизвестный коэффициент, который нужно найти.
Здесь
и ![\widetilde{y}'' = -9A\cos 3x - 9B\sin 3x](/tpl/images/1356/7057/c6783.png)
Подставим
и
в заданное уравнение со специальной правой частью:
Частное решение:![\widetilde{y} = -\dfrac{3}{52} \cos 3x + \dfrac{1}{26} \sin 3x](/tpl/images/1356/7057/1a163.png)
Общее решение заданного дифференциального уравнения:
ответ:![y =C_{1} e^{-4x}\cos 3x + C_{2}e^{-4x}\sin 3x -\dfrac{3}{52} \cos 3x + \dfrac{1}{26} \sin 3x](/tpl/images/1356/7057/62094.png)