В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Х
Химия
Д
Другие предметы
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
М
Музыка
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
У
Українська література
Р
Русский язык
Ф
Французский язык
П
Психология
О
Обществознание
А
Алгебра
М
МХК
Г
География
И
Информатика
П
Право
А
Английский язык
Г
Геометрия
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
sana1998d
sana1998d
16.11.2022 20:46 •  Математика

Решить дифф.уравнения-y'' + 8 y'+25y=2sin 3x

Показать ответ
Ответ:
Dag18y5557hvvhi
Dag18y5557hvvhi
24.08.2020 23:46

y'' + 8y' + 25y = 2\sin 3x

Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами.

Общее решение этого уравнения: y = y^{*} + \widetilde{y}

1) \ y^{*} — общее решение соответствующего однородного уравнения:

y'' + 8y' + 25y = 0

Воспользуемся методом Эйлера. Подстановка: y = e^{kx}.

Тогда получим характеристическое уравнение:

(e^{kx})'' + 8(e^{kx})' + 25e^{kx} = 0

k^{2}e^{kx} + 8ke^{kx} + 25e^{kx} = 0 \ \ \ |:e^{kx}

k^{2} + 8k + 25 = 0

D = 8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 64 - 100 = -36

k_{1,2} = \dfrac{-8 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-8 \pm \sqrt{36} \cdot \sqrt{-1}}{2} = \dfrac{-8\pm 6i}{2} = -4 \pm 3i

Имеем комплексно-сопряженные корни вида \alpha \pm \beta i

Здесь \alpha =-4 и \beta =3

Тогда \overline{y}_{1} = e^{(-4 + 3i)x} и \overline{y}_{2} = e^{(-4 - 3i)x}

Используем формулу Эйлера: e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi

Значит, \overline{y}_{1} = e^{(-4 + 3i)x} = e^{-4x} \cdot e^{3ix} = e^{-4x}(\cos 3x + i\sin 3x) = e^{-4x} \cos 3x + ie^{-4x}\sin 3x

Таким образом, фундаментальная система решений: y_{1} = e^{-4x}\cos 3x, \ y_{2} = e^{-4x}\sin 3x — линейно независимые функции.

Общее решение: y^{*} = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2} = C_{1} e^{-4x}\cos 3x + C_{2}e^{-4x}\sin 3x

2) \ \widetilde{y} — частное решение ЛНДУ с постоянными коэффициентами. Для его нахождения используется метод подбора вида частного решения по виду правой части уравнения.

Правая часть второго типа: f(x) = e^{\alpha x}\left(P_{s}(x)\cos \beta x + Q_{m}(x)\sin \beta x \right)

В нашем уравнении \alpha = 0, \ \beta = 3 и не совпадает корнем однородного ЛДУ, а именно: \alpha =-4 и \beta =3, поэтому \widetilde{y} = A\cos 3x + B\sin 3x, где A — неизвестный коэффициент, который нужно найти.

Здесь \widetilde{y}' = -3A\sin 3x + 3B\cos 3x и \widetilde{y}'' = -9A\cos 3x - 9B\sin 3x

Подставим \widetilde{y}, \ \widetilde{y} ' и \widetilde{y} '' в заданное уравнение со специальной правой частью:

-9A\cos 3x - 9B\sin 3x + 8 \cdot (-3A\sin 3x + 3B\cos 3x) + \\+ 25(A\cos 3x + B\sin 3x) = 2\sin 3x

(16 A + 24B)\cos 3x + (-24A + 16B)\sin 3x = 0\cos 3x + 2\sin 3x

\displaystyle \left \{ {{16A + 24B = 0, \ } \atop {-24A + 16B = 2}} \right.

+ \displaystyle \left \{ {{48A + 72B = 0, \ } \atop {-48A + 32B = 4}} \right.

104 B = 4; \ B = \dfrac{4}{104} = \dfrac{1}{26}

16A + 24 \cdot \dfrac{1}{26} = 0; \ 16A = -\dfrac{12}{13} ; \ A = -\dfrac{3}{52}

Частное решение: \widetilde{y} = -\dfrac{3}{52} \cos 3x + \dfrac{1}{26} \sin 3x

Общее решение заданного дифференциального уравнения:

y = y^{*} + \widetilde{y} =C_{1} e^{-4x}\cos 3x + C_{2}e^{-4x}\sin 3x -\dfrac{3}{52} \cos 3x + \dfrac{1}{26} \sin 3x

ответ: y =C_{1} e^{-4x}\cos 3x + C_{2}e^{-4x}\sin 3x -\dfrac{3}{52} \cos 3x + \dfrac{1}{26} \sin 3x

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота