Математика: Решить дифференциальное уравнение y -y +2y=e^x(x^2-1)

Решить дифференциальное уравнение y"-y'+2y=e^x(x^2-1)

Показать ответ

Ответ:

DashaLatysheva1

31.07.2020 01:24

Решение в приложении.
Комментарии к решению:
Часть I
Решаю однородное уравнение для нахождения базис-векторов пространства решений уравнения. $\lambda_{1,2}$ здесь - собственные числа, а

$\left\{e^x\cos\frac{\sqrt{7}x}{2},\ e^x\sin\frac{\sqrt{7}x}{2}\right\}$ - базис пространства решений уравнения.

Помним, что решение неоднородной системы есть функциональная комбинация векторов базиса:
$C_1(x)e^x\cos\frac{\sqrt{7}x}{2}+C_2(x)e^x\sin\frac{\sqrt{7}x}{2}$ .

Часть III
Определяю матрицу Вронского (Вронскиан).
Теперь нужно решить систему уравнений, где вектор-неизвестное (C'_1,C'_2)

- это подходящие функции для функциональной комбинации.

Часть IV
Решение системы.
решения может быть любой, я использовал метод Крамера.

Часть V
Проинтегрировав функции (чего я не сделал), получаем множество решений уравнения $\bar{y}(x)$ - функциональную комбинацию (для нахождения решения, выполняющего начальные условия, нужно проинтегрировать $C'_1,\ C'_2$ и подставить начальные условия для нахождения свободного коэффициента получаемого при интеграции).

P.S. метод попроще я, увы, не нашёл: все известные мне "хитрые подстановки" в частное решение, при комплексных лямбдах $\lambda=\alpha\pm\beta i$ , ограничиваются $f(x)=e^{\alpha x}\left(P(x)\cos\beta x+Q(x)\sin\beta x\right)$ . Что подставлять для $f(x)=e^x\left(x^2-1\right)$ - без понятия.

Решить дифференциальное уравнение y-y'+2y=e^x(x^2-1)