Решить : петя отметил на плоскости 100 точек, никакие три не лежат на одной прямой, и провёл все возможные отрезки с концами в этих точках. вася нарисовал прямую, которая не проходит через данные точки. могло ли оказаться, что эта прямая пересекает ровно треть из отрезков, нарисованных петей?
Петя отметил на плоскости 100 точек и провел все возможные отрезки с концами в этих точках. Мы должны выяснить, возможно ли, чтобы Вася нарисовал прямую, которая пересекает ровно треть из этих отрезков.
Возьмем обратное утверждение задачи: прямая Васи пересекает больше, чем треть отрезков. Если это доказано, будет понятно, что исходное утверждение неверно.
Подумаем о том, как может быть построена прямая Васи, чтобы пересечь много отрезков. Рассмотрим отрезок, наиболее удаленный от остальных точек. Предположим, что этот отрезок пересекает прямую Васи. Обозначим его как отрезок AB.
Теперь рассмотрим прямую, проходящую через точку A и параллельную BC, где C - точка на прямой Васи и AB. Так как C находится на прямой Васи, прямая AB также должна пересекать эту прямую.
Аналогично, рассмотрим прямую, проходящую через точку B и параллельную AC, где C - точка на прямой Васи и AB. Прямая AB также должна пересекать эту прямую.
Следовательно, прямая AB должна пересекать обе прямые, параллельные ей, проходящие через точки A и B. Но таких прямых нет, потому что петя провел все возможные отрезки с концами в данных 100 точках.
Таким образом, доказано, что прямая Васи НЕ может пересекать больше, чем треть отрезков, нарисованных петей. Значит, прямая Васи не может пересечь ровно треть отрезков.
Ответ: Прямая Васи не может пересечь ровно треть отрезков.
(Обоснование: Предполагая, что прямая Васи пересекает много отрезков, мы показали, что это противоречит предпосылке о том, что петя провел все возможные отрезки с концами в данных 100 точках.)