Решить,
в партии из 25 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. определить закон, функцию распределения, ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение количества дефектных деталей среди трѐх наудачу выбранных. построить полигон полученного распределения.
1. Закон распределения:
В данной задаче нас интересует количество дефектных изделий среди трех выбранных наугад. Для каждого выбора у нас есть два возможных исхода - деталь может быть дефектной (с вероятностью p) или нормальной (с вероятностью q = 1 - p). Таким образом, мы имеем дело с биномиальным распределением.
2. Функция распределения:
Функция распределения показывает вероятность получения каждого из возможных значений случайной величины. Для этого мы можем использовать формулу для биномиального распределения:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k), где
- X - количество дефектных деталей среди трех выбранных;
- k - количество дефектных деталей;
- n - количество выбранных деталей;
- p - вероятность получения дефектной детали;
- q = 1 - p - вероятность получения нормальной детали;
- C(n, k) - число сочетаний из n по k.
В нашем случае, n = 3 (так как мы выбираем три детали), p = 5/25 = 1/5 (так как 5 из 25 деталей имеют скрытый дефект), q = 1 - p = 4/5.
Теперь мы можем вычислить значения функции распределения для каждого возможного значения k (количество дефектных деталей) от 0 до 3.
3. Ожидание (математическое ожидание):
Ожидание показывает среднее значение случайной величины. Для биномиального распределения ожидание вычисляется по формуле:
E(X) = n * p.
В нашем случае, E(X) = 3 * 1/5 = 3/5.
4. Дисперсия:
Дисперсия показывает меру разброса случайной величины вокруг ее математического ожидания. Для биномиального распределения дисперсия вычисляется по формуле:
Var(X) = n * p * q.
В нашем случае, Var(X) = 3 * 1/5 * 4/5 = 12/25.
5. Среднее квадратическое отклонение:
Среднее квадратическое отклонение показывает степень разброса случайной величины. Оно вычисляется как корень из дисперсии:
SD(X) = sqrt(Var(X)).
В нашем случае, SD(X) = sqrt(12/25).
6. Построение полигона полученного распределения:
Для построения полигона мы должны нарисовать столбчатую диаграмму, где на горизонтальной оси откладываются значения k (количество дефектных деталей), а на вертикальной оси - значения функции распределения P(X = k). Затем, в соответствии с найденными значениями функции распределения, на графике рисуем соответствующие столбики. В результате мы получим полигон, который показывает распределение количества дефектных деталей.
Вот подробное решение задачи. Надеюсь, это поможет вам лучше понять материал. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!