отложим одну монету, а на каждую чашу весов положим по две монеты. возможны два случая.
1) весы в равновесии. так как четырёх настоящих монет нет, то на одной чаше лежат обе фальшивые монеты. следующим взвешиванием достаточно сравнить веса монет с одной чаши: если весы в равновесии, то эти монеты настоящие, и фальшивые монеты в другой чаше; если весы не в равновесии, то фальшивые монеты – на весах.
2) одна из чаш перевесила. тогда на весах находится или только лёгкая фальшивая монета в более лёгкой чаше или только тяжёлая фальшивая монета в более тяжёлой чаше, или обе монеты находятся в разных чашах. вторым взвешиванием сравним веса монет в лёгкой чаше: если весы не в равновесии, то более лёгкая монета – фальшивая. если весы в равновесии, то отложенная монета – фальшивая (и она лёгкая). аналогично, третьим взвешиванием сравним веса монет из тяжёлой чаши: тогда, либо более тяжёлая монета – фальшивая, либо, если весы в равновесии, отложенная монета фальшивая (и она тяжёлая).
решение 2
первый раз положим на чаши весов первую и вторую монеты, а второй раз – третью и четвёртую. возможны только два случая.
1) один раз весы были в равновесии (пусть при первом взвешивании; при этом на чашах настоящие монеты), а другой раз – нет.
возьмем настоящую монету из первого взвешивания и сравним её с той, что оставалась на столе. если их веса равны, то последняя монета настоящая, а фальшивые – те, что участвовали во втором взвешивании. иначе, монета со стола – фальшивая, и мы знаем, легче она настоящей или тяжелее, а потому знаем, лёгкая или тяжёлая фальшивая монета участвовала во втором взвешивании.
2) оба раза весы были не в равновесии. тогда на весах каждый раз была одна фальшивая монета, а на столе осталась настоящая. взвесим её с лёгкой монетой из первого взвешивания. если веса равны, то в первом взвешивании фальшивой была более тяжёлая, а во втором – более лёгкая. если же более лёгкая монета из первого взвешивания оказалась легче, то она фальшивая, а из второго взвешивания фальшивая – более тяжёлая.
замечания
отметим, что решение 2 не использует то, что обе фальшивых монеты весят столько же, сколько две настоящих.
Если фразу из задания: "Синус двугранного угла при боковом ребре правильной четырёхугольной пирамиды равен 4√2/9" понимать так: "Синус угла между боковым ребром правильной четырёхугольной пирамиды и её основанием равен 4√2/9", то решение задания следующее. Пусть это будет угол С. Сторону основания примем а.
Находим косинус угла С: cos С = √(1 - sin²С) = √(1 - (32/81) = √(49/81) = 7/9. Тангенс А равен: tg С = sin С / cos С = (4√2/9) / (7/9) = 4√2/7. Высота Н пирамиды равна высоте равнобедренного треугольника, полученного в диагональном сечении пирамиды. Площадь сечения равна: S = (1/2)dH . где d = a√2. H = (a√2/2)*tg С = = (a√2/2)*(4√2/7) = 4a/7. Подставим значения в формулу площади: 8 = (1/2)*а√2*(4а/7) = 4√2*а²/14. Сократим на 4 и получаем а = √(28/√2) ≈ 4,449606. Высота Н = (4/7)а = (4/7)*√(28/√2) ≈ 2,542632. Находим апофему А боковой грани: А = √(Н² + (а/2)²) = √((64/7√2) + (7/√2)) ≈ √(113/7√2) ≈ 3,378568. Периметр Р основания равен: Р = 4а = 4√(28/√2) ≈ 17,79842. Отсюда находим искомую площадь боковой поверхности пирамиды. Sбок = (1/2)РА = (1/2)*4√(28/√2)*√(113/7√2) ≈ 30,06659 кв.ед.
ответ:
отложим одну монету, а на каждую чашу весов положим по две монеты. возможны два случая.
1) весы в равновесии. так как четырёх настоящих монет нет, то на одной чаше лежат обе фальшивые монеты. следующим взвешиванием достаточно сравнить веса монет с одной чаши: если весы в равновесии, то эти монеты настоящие, и фальшивые монеты в другой чаше; если весы не в равновесии, то фальшивые монеты – на весах.
2) одна из чаш перевесила. тогда на весах находится или только лёгкая фальшивая монета в более лёгкой чаше или только тяжёлая фальшивая монета в более тяжёлой чаше, или обе монеты находятся в разных чашах. вторым взвешиванием сравним веса монет в лёгкой чаше: если весы не в равновесии, то более лёгкая монета – фальшивая. если весы в равновесии, то отложенная монета – фальшивая (и она лёгкая). аналогично, третьим взвешиванием сравним веса монет из тяжёлой чаши: тогда, либо более тяжёлая монета – фальшивая, либо, если весы в равновесии, отложенная монета фальшивая (и она тяжёлая).
решение 2
первый раз положим на чаши весов первую и вторую монеты, а второй раз – третью и четвёртую. возможны только два случая.
1) один раз весы были в равновесии (пусть при первом взвешивании; при этом на чашах настоящие монеты), а другой раз – нет.
возьмем настоящую монету из первого взвешивания и сравним её с той, что оставалась на столе. если их веса равны, то последняя монета настоящая, а фальшивые – те, что участвовали во втором взвешивании. иначе, монета со стола – фальшивая, и мы знаем, легче она настоящей или тяжелее, а потому знаем, лёгкая или тяжёлая фальшивая монета участвовала во втором взвешивании.
2) оба раза весы были не в равновесии. тогда на весах каждый раз была одна фальшивая монета, а на столе осталась настоящая. взвесим её с лёгкой монетой из первого взвешивания. если веса равны, то в первом взвешивании фальшивой была более тяжёлая, а во втором – более лёгкая. если же более лёгкая монета из первого взвешивания оказалась легче, то она фальшивая, а из второго взвешивания фальшивая – более тяжёлая.
замечания
отметим, что решение 2 не использует то, что обе фальшивых монеты весят столько же, сколько две настоящих.
"Синус угла между боковым ребром правильной четырёхугольной пирамиды и её основанием равен 4√2/9", то решение задания следующее. Пусть это будет угол С. Сторону основания примем а.
Находим косинус угла С:
cos С = √(1 - sin²С) = √(1 - (32/81) = √(49/81) = 7/9.
Тангенс А равен: tg С = sin С / cos С = (4√2/9) / (7/9) = 4√2/7.
Высота Н пирамиды равна высоте равнобедренного треугольника, полученного в диагональном сечении пирамиды.
Площадь сечения равна: S = (1/2)dH . где d = a√2. H = (a√2/2)*tg С =
= (a√2/2)*(4√2/7) = 4a/7.
Подставим значения в формулу площади:
8 = (1/2)*а√2*(4а/7) = 4√2*а²/14.
Сократим на 4 и получаем а = √(28/√2) ≈ 4,449606.
Высота Н = (4/7)а = (4/7)*√(28/√2) ≈ 2,542632.
Находим апофему А боковой грани:
А = √(Н² + (а/2)²) = √((64/7√2) + (7/√2)) ≈ √(113/7√2) ≈ 3,378568.
Периметр Р основания равен: Р = 4а = 4√(28/√2) ≈ 17,79842.
Отсюда находим искомую площадь боковой поверхности пирамиды.
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*4√(28/√2)*√(113/7√2) ≈ 30,06659 кв.ед.