Точка перегиба - точка, в которой вторая производная функции меняет знак (равна нулю). Промежутки выпуклости - соотвественно участки с положительной и отрицательной второй производной. Найдём первую производную: y'=5x^4+3x^2-1 Найдём вторую производную: y''=20x^3+6x = 2х(10х^2+3) Найдём х, при которых вторая производная равна нулю. По скобке видно, что она всегда положительна, значит единственным таким х будет х=0. Это и будет единственной точкой перегиба функции. Слева от этой точки вторая производная отрицательна - значит функция выпукла вверх, справа положительна - функция выпукла вниз.
Найдём первую производную: y'=5x^4+3x^2-1
Найдём вторую производную: y''=20x^3+6x = 2х(10х^2+3)
Найдём х, при которых вторая производная равна нулю. По скобке видно, что она всегда положительна, значит единственным таким х будет х=0. Это и будет единственной точкой перегиба функции. Слева от этой точки вторая производная отрицательна - значит функция выпукла вверх, справа положительна - функция выпукла вниз.
ДАНО:Y(x) = x³ -9*x + 9
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения D(y) ∈ R, Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.
2. Вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.
3. Наклонная асимптота - y = k*x+b.
k = lim(+∞) Y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.
4. Периода - нет - не тригонометрическая функция.
5. Пересечение с осью OХ.
Разложим многочлен на множители. Y=(x--3,41)*(x-1,18)*(x-2,23)
(по теореме Виета - без решения)
Нули функции: Х₁ =-3,41, Х₂ =1,18, Х₃ =2,23
6. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательная - Y(x)<0 X∈(-∞;-3,41]U[1,18;2,23]
Положительная -Y(x)>0 X∈[-3,41;1,18]U[2,23;+∞)
7. Пересечение с осью OY. Y(0) = 9
8. Исследование на чётность.
В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.
Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x), Функция ни чётная, ни нечётная.
9. Первая производная. Y'(x) = 3*x² -9 = 3*(x²-3²) = 0
Корни Y'(x)=0. Х₄ = -√3 (-1,73) Х₅= √3 (1,73)
Производная отрицательна между корнями - функция убывает.
10. Локальные экстремумы.
Максимум - Ymax(-√3) =19,39. Минимум - Ymin(√3) =-1,39
11. Интервалы возрастания и убывания.
Возрастает Х∈(-∞;-√3]U[√3;+∞) , убывает - Х∈[-√3;√3]
12. Вторая производная - Y"(x) = 6*x = 0
Корень производной - точка перегиба Х₆=0
13. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆ = 0]
Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆ = 0; +∞).
14. График в приложении.